GASTON TARRY. NOTE SUR LES ANGLES HYPERBOLIQUES. 27 



l'aire est égal à sinh(|3 + — )• En conséquence, nous devons trouver 

 pour mesure du double de l'aire du triangle image OAB' un nombre réel 

 caché sous la forme i sinh ( h + — ) • 



Or sinh ((3 + — ) est égal à icosh|3, d'après nos formules. 



Donc le double de l'aire du triangle OAB' devra être égal à cosh[3. 



D'autre part, nous avons démontré que le double de l'aire du triangle 

 OAB' est précisément égal à cosh[3. D'où nous concluons que cette 

 première prévision est justifiée. C'est une satisfaction de bon augure. 



Notre mode de représentation des angles imaginaires a été entièrement 

 suggéré par la lecture de VEssai sur les fonctions hyperboliques, par C.-A. 

 Laisant. 



Grâce à l'emploi de l'hyperbole conjuguée, qui complète en quelque 

 sorte le contour de la courbe dans toutes les directions possibles autour 

 du centre, M. Laisant est parvenu à peindre aux yeux, comme un fait 

 géométrique, la périodicité des fonctions hyperboliques. 



Pour ce qui suit je me limiterai à l'examen des propriétés des angles 

 hyperboliques réels, dans la mesure du possible à cause de l'enchevê- 

 trement. 



Nous commencerons par démontrer ce théorème fondamental : 



Si, autour d'un point fixe comme sommet, on fait tourner un angle hyper- 

 bolique de grandeur constante, ses deux côtés marquent sur une droite fixe 

 deux divisions homo graphiques qui ont toujours les mêmes points doubles 

 réels, quelle que soit la grandeur de cet angle, la direction origine des angles 

 hyperboliques étant perpendiculaire à la droite fixe. 



Considérons une hyperbole équilatère de centre et de demi-axe OM 

 égal à I. (Prière de faire la figure.) La perpendiculaire menée à la 

 droite OM par le point M coupe les deux asymptotes en des points E 

 et F. Soient A, A' les points de rencontre de la droite EF avec deux 

 droites issues du centre et formant un angle hyperbolique AOA' d'argu- 

 ment 0, la direction origine étant OM. 



Si nous désignons par x l'argument de l'angle hyperbolique MOA et par 

 conséquent par x -{- B l'argument de l'angle hyperbolique MOA', il est 



clair qu'on a tanghx = jr^, tangh(a; -\- 0) = -^-^ et comme OM = i, 

 taiigh(a7 -H 0) = MA', tangh:r = MA. 

 La formule démontrée 



tangh(a;-H 6) = * * 



* I -H langh:r tanghO 



donne la relation 



MA' = '^''\"r/^""'!^. ou MA' MA tangh6 -+- MA'— MA - langhO = o, 

 i-l-MAlangh6 ° 



