28 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



qui exprime que les points A, A' marquent deux divisions homographiques 

 sur une même droite lorsque tangliQ est une constante. On voit aisé- 

 ment que si l'un des points A ou A' vient en E ou F, son homologue se 

 confond avec lui. Ce qui démontre que lorsque l'angle hyperbolique de 

 grandeur constante tourne autour du point fixe 0, ses deux côtés 

 marquent sur la droite llxe EF deux divisions qui ont les mêmes points 

 doubles E et F, quelle que soit la grandeur de 5. 



Remarque. — Les points A, A' sont tous deux à l'intérieur du seg- 

 ment EF ou tous deux à l'extérieur. Dans le premier cas l'angle hyper- 

 boUque est réel et égal à 9; dans le second cas il est imaginaire et égal 

 à (9 + t: i. Mais la valeur de la tangente ne change pas, puisque 

 tangh(9 + T.i) est égal à tangh() et l'enchevêtrement de ces deux angles 

 s'explique. 



Pour donner au théorème toute sa généralité il resterait à considérer 

 le cas où l'un des points A, A' se trouve à l'intérieur du segment EF et 

 l'autre à l'extérieur; alors la même circonstance se présente dans toutes 

 les positions de l'angle, qui est toujours imaginaire. La démonstration 

 ne présente pas de difficultés. 



Dans le cas très particulier où l'un des côtés de l'angle se confond 

 avec une asymptote, l'autre côté se confond aussi avec la même asym- 

 ptote; ce qui autorise à dire qu'une asymptote fait avec elle-même un 

 angle égal à un angle hyperbohque quelconque. 



Notre théorème fondamental peut s'énoncer sous cette autre forme : 



Quand deux divisions homographiques formées sur une même droite ont 

 leurs deux points doubles réels, il existe, de part et d'autre de cette droite^ un 

 point d'où Von voit, sous des angles hyperboliques égaux et formés dans le 

 même sens de rotation, tous les segments compris entre les points de la 

 première division et leurs homologues respectifs. 



On pourrait aussi le présenter sous cette forme plus séduisante : 



Le rapport anharmonique du faisceau formé par les côtés d'un angle 

 hyperbolique d'argument 9 et par les asymptotes de la courbe est égal à e-^. 



Le théorème similaire dans le cercle, où les asymptotes sont des droites 

 isotropes, a été donné par Laguerre en i853, alors qu'il était lycéen. Il 

 m'a semblé que la relation de Laguerre n'était pas assez générale, parce 

 qu'elle ne permettait pas de distinguer deux angles qui difïèrent de ;:. 

 C'est pourquoi, dans ma Géométrie générale, je l'avais remplacée par la 

 suivante, en utiUsant les propriétés singulières des droites isotropes. 



Le rapport des segments déterminés sur les deux côtés d'un angle circu- 

 laire d'argument c. -\- ^ y/ — i par une droite isotrope, est égal à e-*-^P> ~'^ v~i. 



Ce théorème peut avoir des applications dans la géométrie modulaire, 



