GASTON TARRY. NOTE SUR LES ANGLES HYPERBOLIQUES. 29 



lorsque le module est un nombre premier de la forme l^q -{- i, parce que 

 dans ce cas la droite arithmétique isotrope est réelle. 



Proposons-nous maintenant d'étendre à l'hyperbole équilatère l'im- 

 portant théorème des angles inscrits dans le cercle. 



On sait que si A, B sont deux points fixes d'une circonférence et P 

 un point variable sur l'arc APB, situé du même côté de la sécante AB que 

 le centre 0, l'angle inscrit APB est égal à la moitié de l'angle au centre 

 AOB, quelle que soit la position du point P sur l'arc. 



A cette proposition correspond la suivante : 



Si A, B sont deux points fixes d'une même branche d'hyperbole équilatère 

 et P un point variable sur Vautre branche^ V angle hyperbolique inscrit APB 

 est égal à la moitié de V angle hyperbolique au centre AOB, quelle que soit la 

 position du point P sur la branche. 



Nous prions le lecteur de faire la figure de la démonstration. 



Soit Q le point diamétralement opposé à P. Menons par le point les 

 parallèles à PA et PB; elles rencontreront la branche d'hyperbole AB 

 aux points A' et B'. L'angle hyperbolique A' OB' est, par définition, 

 égal à l'angle hyperbolique APB. 



Or, comme il est aisé de voir, les aires des secteur OQA', OQB' sont 

 égales aux moitiés des aires des secteurs OQA, OQB, et par conséquent 

 l'aire du secteur A' OB' est la moitié de l'aire du secteur AOB. 



Donc l'angle hyperbolique A' OB', ou son égal APB, est la moitié de 

 l'angle hyperbolique AOB. (c. q. f. d.) 



Corollaire. — • Tous les angles hyperboliques inscrits dans un même 

 segment sont égaux. 



Pour le cercle, à un point P situé sur l'autre arc correspond un angle 

 circulaire qui diffère du précédent de t.. Pour l'hyperbole équilatère, en 

 s'appuyant sur les propriétés des cordes supplémentaires, on constate- 

 rait qu'à un point P situé sur l'autre branche correspond un angle hyper- 

 bohque qui diffère du précédent de r. i. Enfin on étendrait la proposition 

 au cas où les points A et B sont sur des branches différentes. 



Remarque. — On obtiendrait une démonstration applicable à tous les 

 cas, en se basant sur notre théorème fondamental et les deux propo- 

 sitions suivantes : 



Lorsqu'un point décrit une conique à centre, les droites qui joignent 

 ce point à deux points fixes de la conique forment deux faisceaux homo- 

 graphiques, qui ont deux couples de rayons parallèles (réels pour l'hy- 

 perbole et imaginaires pour l'ellipse). 



Cette proposition bien connue fournirait encore une démonstration 

 de notre théorème fondamental, et pour tous les cas. 



Le rapport anharmonique de quatre points A, B, C, D cVune conique est 



