3o MATHÉMATIQUES, ASTRO.^OMIE ET GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



égal à la racine carrée du rapport anharmonique du faisceau P (ABCD) 

 qui a pour centre le pôle P de la droite AB, 



On choisira pour pôle le centre de la conique. 



Ce dernier théorème ne figure pas dans les Traités de Géométrie. Nous 

 l'avons rencontré dans d'autres recherches et en avons donné une dé- 

 monstration très simple en 1890, dans Mathésis. 



Les analogies existant entre l'hyperbole équilatère et le cercle sont en 

 trop grand nombre pour songer à les rechercher toutes. Contentons-nous 

 d'en indiquer encore une : 



Les cordes des segments hyperboliques de même aire enveloppent une 

 seconde hyperbole ayant les mêmes asymptotes, c'est-à-dire un double con- 

 tact à r infini avec la première. 



Puisque à des angles hyperboliques de même argument correspondent 

 des segments hyperboliques de même aire, il nous suffira de dire que 

 ce théorème n'est au fond qu'un corollaire du suivant. 



Si deux faisceaux homographiques ont leur sommet commun en un 

 point d'une conique, les cordes interceptées dans cette courbe par les 

 rayons homologues des deux faisceaux enveloppent une seconde conique 

 qui a double contact avec la première, sur la corde interceptée dans 

 celle-ci par les rayons doubles des deux faisceaux. 



L'enchevêtrement existant entre les angles hyperboliques réels et ima- 

 ginaires nous a mis dans l'obligation de considérer les angles dont l'argu- 

 ment est égal à une quantité réelle augmentée d'un multiple de — > mais 



cela nous a suffi pour cette esquisse, attendu que nous n'avions en vue 

 que la démonstration de propriétés concernant l'angle hyperbolique réel. 



Espérant trouver dans la conique générale quelques traces des pro- 

 priétés des angles circulaires, je me suis mis à leur recherche et j'ai eu la 

 chance d'en rencontrer qui expriment de gentils théorèmes. 



En voici un concernant l'hyperbole équilatère : 



Si par un point fixe situé sur la perpendiculaire au milieu d'un dia- 

 mètre AB d'une hyperbole équilatère, on mène une droite quelconque coupant 

 la courbe aux points P et Q, la somme des angles APB et AQB, sous les- 

 quels on voit le diamètre AB des points variables P et Q, est constante. 



Les propriétés des angles hyperboliques que nous venons de démontrer 

 pour l'hyperbole équilatère sont toutes projectives,^et par conséquent 

 s'appliquent à une hyperbole quelconque. Pareillement, les propriétés 

 des angles circulaires s'étendent par projection' à une elHpse quelconque. 



Pour tous ces angles, hyperboliques et elliptiques, il existe une direc- 

 tion origine, qui est celle de l'axe transverse pour l'hyperbole et l'une des 

 deux axes au choix pour l'ellipse. 



Désignons par k le carré du rapport à l'axe origine de l'autre axe, et 

 prenons pour unité de longueur le demi-axe origine. 



