GASTON TARRY, NOTE SUR LES ANGLES HYPERBOLIQUES. 3l 



Nous obtenons les formules fondamentales 



cos^a -T- /i" sin^a = i, 

 sin (a ±: p ) = sin y. cos [i dr cosa sin j3, 

 cos(a ± ^) = cosa cos [3 zp k sin a cos 3. 



Il est évident que la caractéristique A' est positive pour les angles ellip- 

 tiques et négative pour les angles hyperboliques. En particulier, pour 

 A; = + I et /c = — I , on retrouve les formules des trigonométries du 

 cercle et de l'hyperbole équilatère. 



Des formules fondamentales on déduit les suivantes : 



(cosx ± y/ — ■ k sina ) (ces (3 dr s/ — k cos ^ ) =: cos(a -i- ^) ± y/ — k sin(a -~ ^), 



( cosa ±: y — k sina)'" = cos;» a dr \ — • k sin //«a, 



. a a .a 



. . 2 sin cos - sin - 



sin a i 2 ■>. a 



= = tani 



I -S- cos y / „a ,.„a\ / ^a ,.^a\ a "2 



cos- — h /i sin^ - -I- ( cos2 k sin^ - cos - 



2 2 / V 2 2 / •}. 



De cette dernière relation, indépendante de la caractéristique, on 

 déduit le théorème de Laisant, qui étend la liaison entre un double sec- 

 teur hyperbolique et son ((mplitiide hyperbolique à l'elUpse et à l'hyperbole 

 quelconques. 



Une distraction. — On sait que l'exactitude de la formule d'Euler a été 

 mise en doute par quelques mathématiciens, sous le prétexte que l'opé- 

 ration d'élever un nombre réel à la puissance du degré \/— i n'a pas été 

 préalablement définie. 



Parmi eux figure M. F. Vallès, qui a composé un remarquable Ouvrage 

 en trois Volumes sur les formes imaginaires en Algèbre. 



Or le travail tout entier de j\I. \'allès disparait avec la base sur laquelle 

 il a cru pouvoir l'édifier, parce que l'auteur a été victime d'une petite 

 distraction dans un petit calcul. 



Comme la formule d'Euler n'est pas étrangère à la théorie des fonctions 

 hyperboliques, et comme son inexactitude entraînerait celle de nos figu- 

 rations géométriques de l'imaginaire, nous croyons devoir relever ici 

 cette erreur qui n'a pas encore été signalée. 



On la trouve dans le troisième Volume, page [\o. Je cite textuellement. 



On a, d'après la formule d'Euler, 



e*^^^' = cosa7 -f- \' — I sina:*. 



Si l'on élève les deux membres à la puissance \J — i, il viendra 



e-'V = (cosa? M- / — I sin.?-)^'-', 



■K 



égalité qui, en faisant x =^ -j se réduit à e - = ^ — 1^~ . 



