44 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. — MÉCANIQUE. 



M. André GÉRARDIN. 



RÉSOLUTION EN ENTIERS POSITIFS DE x' -\- y' + z'' = u' + v' '\- w' 



CAS PARTICULIERS. 



5i2.Si 



G Août. 



J'ai présenté l'an dernier, au Congrès de Lille de V Association française 

 pour V avancement des Sciences, un Mémoire où je donnais des solutions 

 générales de 



«--^ J- -+--'= ""-1- ^- el 373+ j3_f_ -3=^ ji3_^ (,5. 



Il est très facile de passer au quatrième degré en utilisant différentes 

 méthodes élémentaires. 



Je vois d'abord partir d'ane solution connue d'identités aux degrés 

 ;i = I, 2 et l\, en même temps, et montrer qu'on peut immédiatement 

 en tirer des systèmes généraux de résolution. 



Dans un premier problème, j'utiliserai une solution initiale, indiquée 

 par M. E.-B. Escott {Intermédiaire des Mathématiciens, quest. 284-4, 

 posée en 1904, p. 261 ; non résolue). 



Connaissant 



je remarque qu'on peut l'écrire 



I s- 9 -+- ( — 10) = j -1-6 -f- { — II), 



i'* -\- <j'* -T- {— 10)'* = 5*-+- G'*+ ( — n)S 



ce qui nous donne une identité à trois degrés non consécutifs. J'écris cette 

 solution sous la forme 



(■>./•)'•+ x'* -\- (ir — .v)''= ( -2. r -h i)'* -h r'*-^ ( r -^ \)'*. 



et j'en tire les formules générales suivantes, vraies en même temps aux 

 degrés ?i = i, 2 et 4» et rendues homogènes : 



:IL(6s'^-^/i s/: -+- A-2 ) + [_ ( 3 52 4- 2 s A- + A-2 )] -1- [— ( 3 s^ -+- ■! sk )] . 



J'ai trouvé, d'autre part, l'identité suivante : 



(a) -\- [{c — b) m -i- b] -^ [( a — b ) m -h c] 



= [a — (b — c)m\-T-l{a — b)ni -h b] -h ( c). 



