ANDRÉ GÉRARDIN. — RÉSOLUTION DE X' -{- y'* -\- Z* = U* -\- i^'* -{- w'' . 45 



Si je fais, par exemple, 



a = b — î, m ^^ ib — i , c ^= ib — a — i , 



j'obtiendrai l'égalité suivante plus simple que la précédente : 



f/- 2.^0 + (4/_^^-) -t- (3^-- 5/; = (4/- 3^-) + (2,o._ 5/; I (/+ ^). 



Nous pouvons, de même, trouver une solution générale sans connaître 

 de solution initiale. On a, en effet, 



^4 _4_ j^l _l_ ( a? -h JK)^ = -* -H <* 4- ( -3 -h O'' 



qui se ramène à 



;r'»-+- '2x^y -+- "icc^y^-i- ixy^ -r- y'* = -* + iz^t -\- Z z''' t- -{- i z t"^ -\- t'* , 



ce qui est la même chose que 



Pour résoudre 



x'^ + xy -\- y^-= z-^ zt ^ t'. 



le plus simple est évidemment de multiplier par 4 les deux membres, qui 

 s'écrivent alors 



{■ix-^ y)''--^oy^-=^ (2:; 4-^)2-1- 3^2 



dont on connaît la solution générale 



{mil H- :>pq)--\- 'i{nip — nq)- = {inn — opg)--\- 3{mp -+- ncj )'-. 



On en tirera facilement les valeurs des inconnues. 



Pour plus de commodité, je vais indiquer encore une formule, vraie en 

 même temps, seulement aux degrés 2 et 4; le lecteur verra facilement 

 quels nombres doivent être changés de signe pour avoir l'identité au 

 premier degré : 



(/-2,^) + (4/- A") + (3/- 3^) + (/- g) 



^ (4/_3,^) + (3/-2^^M-i-(4/-+- .^) + (5/+ 3^) 

 + ( /+.2^)-^(4/+9,:,0 + (5/+i3^o')-+-( /+ 4.^)- 



Résolution de x' + y* + 5' = «* + ^'* i^i équations similaires). — Pour 

 ce problème spécial, suite de mes précédentes études, j'ai d'abord 

 trouvé trois méthodes qui permettent, en partant d'une solution connue, 

 d'en trouver d'autres, en utilisant la méthode de Fermât; j'indiquerai, 

 pour terminer, une dernière méthode qui, sans connaître de solution, 

 indique des formules de résolution du problème. 



