46 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. — MÉCANIQUE. 



Première méthode. — Partons d'une solution connue, telle que 



(l) l'M-2J*-i-4?>= i7*-4-4}* 



indiquée par M. Grigorief, de Kazan, dans V Intermédiaire des Mathéma- 

 ticiens (quest. 3î2o3, 1907, p. 17-^; non résolue). 

 Posons, en effet, 



{■i) I*-;- y*-h [X — y)'' = j>-'' ~v- ix ^ y ^ i)4, 



puis 



(3) .r = r -+- •■'./?, 



ce qui est indiqué par la marche du problème. Nous parvenons alors à 

 l'équation 



<' î ) ( P — 4 IV- -i- I ■*/>- — 8/J — 3 ) JK -H ( 2/y- — i/>'- — 3/J — I ) == o. 



On voit que p = 4 étant solution, il suffira, pour en obtenir une nou- 

 velle, de poser p = a + 4; le déterminant de (4) deviendra 



( 2«- -f- 8 « — 3 j- — 4 <"' ( ■'- «^ -!- '-io «2 -f- (•) (« -f- 5 1 j = Z2 



OU encore 



9 — i^>.a — Myia- — 4"^^'^ — 1"' = Z-. 



On posera 



Z = 3— \>.a-r- fa"- 



et, comme nous voulons d'abord annuler le coefficient de a^, nous devrons 



poser 



/ = — 3>.6. 



Il reste alors 



Ifi = ( 3 — \>. a — iiGa^ )'- — «3 ( - -^ ak), 



g et k représentant des nombres connus. 



Pour avoir une nouvelle solution, il suffira de poser a = — ^ ; nous 



pouvons accepter ici une solution fractionnaire, puisqu'en multipliant 

 tous les nombres par k\ on aura une solution entière; il faut noter aussi 



a 



que a = — ^ doit être rendue irréductible. 

 Nous aurons donc 



7 = 3 — 42^-326^. 



Les équations (2), (3) et (4) nous donneront immédiatement la valeur 

 cherchée des inconnues. 



Deuxième méthode. — Partons de la même solution initiale, mais posons 



i'' -~ (S -\- X )'* -{- y'' = x'' -h (j- -^ 1 1*. 



