ANDRÉ GÉRARDIN. RÉSOLUTION DE X' -i- y'' -{- Z' = II' -\- i^' -\- w'* ^7 



Le développement montre qu'on doit écrire y = 2g, puis 



( ')) 4('''î^^-(- i2^'--h (J4.7.- + i'28) = ^(4^2_}_ 3g- -+- î). 



Posons g = X -{- h; nous aurons l'équation 



( i5 — 1 2 A )^- -+- ( ?.55 — 6 a — 1 9. A2 ) 07 -^- ( 5 1 '2 — A — o /i^ — 4 /i3 ) = o. 



On écrira que le' déterminant est un carré parfait, ce qui donnera une 



infinité de solutions, à la seule condition d'en avoir une; or, si l'on annule 



i5 

 le coefficient de x^, ce qui donne A = -y- > on aura 



4 

 2o4 1 



X = ; , 



3IO 



puis 



237 



^ ~~ 5TÔ' 



On parvient ainsi à la nouvelle solution 



"i'jj'* -h J 10* -f- 2039* = 253^ -î- 204 l '*. 



Nous pouvons encore opérer autrement, en partant de (5), puisque 

 nous connaissons une solution initiale; nous poserons en effet 



^ = '7^-/ /?--=2i + /.-, 



et nous obtiendrons alors 



(6) /*-K 63/^' +1339/ =64/3-^,020/^+5419/, 



car nous sommes obligés de poser k = l^l, puis f = f^l + m, pour éliminer 

 64/-^; nous trouvons ainsi une simple équation du second degré, dont nous 

 annulons le premier coefficient : 



(48 m — i2)/2-4-(i2m2-h jo4/n— 63 )/ -h ( /?i3_u ry3.,„2 ^ 1339/») = o. 



On en tire 



,» - ^ ; - -^'^^"7 



4 4080 



et la nouvelle solution 



2o4oi-+- 29833*4- 423-26*= i3 5i3*-f- 44366*. 



Nous pouvions aussi égaler dans (6) les derniers termes de chaque 

 membre, ce qui montre que 



f= i)\igif, / = 13339». 

 On en tire 



u 



1020 X 1 339-— 63 X 5419^ )449-599Îi 



5419Î— 5356-' ~ ~ I 828605681' 



