48 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



mais la solution fournit des nombres de lo et ii chiffres, absolument 

 impropres à la vérification. 



Troisième méthode. — Partant toujours de la solution initiale (i), 

 j'écris 



Ii*^{ibh-^xy+{ \-).h + yy = (17 /( -4- 3")'^ + (43 A + y)\ 



d'où je tire 



•1 A 2 ( I o 7 1 o. :r — 5 4 1 9 y ) -+- 3 ( 3 3 6 a--^ — 8 3 j' 2 ) /j + ( 1 6 a: 3 — 9. j 3 ) = o . 



Si l'on veut annuler le dernier terme, en posant y = ix, on arrive à 

 une tautologie; il ne reste donc qu'à rendre nul le coefficient de A-, en 



posant 



37 = 5419, jK = io7'2, 



d'où l'on tire 



2 83-» — .r^ 1 828605681 



/i = 



3 336:ï-2— 85_/2 7083641 



Le nombre 7088641 est premier, d'après les Tables de Lehmer; la 

 valeur de h est donc irréductible, et l'on obtient encore des solutions 

 inutilisables, ici. 



Quatrième méthode. — Cette dernière méthode est véritablement 

 simple; elle conduit à des résultats généraux qui paraissent, à première 

 vue, impossibles à trouver; c'est bien la véritable manière d'opérer. Les 

 solutions obtenues sont toujours divisibles par 3 ; voici le système trouvé : 



= (i28jo3-+- pq^y-^(6ip^q — y2p'*q^—g^f, 



Et voici la méthode employée : 

 Je pars de 



(8) a'*-^ b''-{- 0'*= (a -h by-h d'>, 



et je pose simplement 



a = p(c -^- d), c = d-\-m\ 



j'obtiens ainsi une équation en #, dont j'annule le premier coefficient : 



.^ di ( m — 8/>3 6 ) + 2 f/( //<2 —Sp^m h — Ç^h'^p"- ) 



-^{m-i—\p-im'^b — ^b''-p''-m — ^b'^p) = o. 



J'en tire 



m = Sp^b, *• 



d'où 



d = -— (64p8— I2p'*- i). 



jp 



