50 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. — MÉCANIQUE. 



Nous obtiendrons, avec ce système, des identités du trente-sixième 



degré. 



// = /7, 2/?, 4/?, 8/?; 



w = Sp\ /ip^, ■^.p"-, p\ 



Ici, nous en aurons du vingt-huitième degré. 



h = p\ ip\ !,p\ 8/>^ 

 m = 8/), 4/', •>-/?, /'. 



Ici, du vingtième degré. Enfin, avec 



h =/?3, 2/)3, 4^3^ 8/)3; 



//? = 8, 4, •>,, I, 



les identités finales seront du douzième degré. Je numérote, dans l'ordre, 

 ces identités de 1 à 16. 



Nous aurons ainsi, en rendant tout homogène : 



\. Il = i, m = 8/>^. 



On obtient l'identité donnée sous le n^ 7. 

 2. . /i^2, m = .\p^- 



[ 32 /;>9 — ipc/^ ]4 + I 3 />^8 J4 -4- 2 [ i6/)' ^ -î- 6/y* f/^ — cfY 



Cette identité donne la solution de la deuxième partie de la question de 

 M. Grigorief. L'ensemble de cet article permet même de généraliser le 

 problème, et l'on obtient le théorème suivant : 



La puissance quatrième (Vun nombre entier quelconque est égale à la dif- 

 férence de deux entiers, tous deux de la forme x'* -\- hy'% le nombre h étant 

 quelconque. 



13. A = 4, m = -ip^; 



\^f' — -i-fg']'*-^ [•>/s»]^- 4 f 4/«A'- + 3/\:;-- A'-9 J^ 

 = I 8/» -+- /A'^ 1 ■• -t- 4 [ 4/^ ,^ - 3 p A' '^ - g'f. 



[ î /" - if,^' ] '' + [ <• /ft°-» J '^ + -^ [ ît/» A" + 3 p ^^^ — 2 A-a ] ' 

 = [ 'I /'■' + 'P'^] * + ^ ] V* .•? — U'' - ' — 2 A» j*. 



[128/- - 2/a'^ T'^- f 3/^-M'-^-/'în(M/« ^- i>-/^*-^- A'M* 



= ['28/-+/^«]i--/^-3fG4/''-I2/3-3_^.r.]i. 



