2 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, (lÉODÉSIE KT MÉCANIQUE 



la courbe, (liilerentions Téquation (i); nous aurons 



d)' = ¥' (a) ^/«, 

 et multipliant par cot « les deux membres, il viendra 

 dx =: d}^ cot a =: F' (a) cot « dv.. 

 L'abscisse x est donc définie par l'équation 



(2) .V = C + I 1' («) cot a fi?a, 



r F' («) 



avec une constante arbitraire C qui fixe la position de la courbe le 

 long de l'axe OX, sans iniluer sur sa forme. 



Si l'on suppose tracées dans le plan des axes une infinité de paral- 

 lèles à l'axe OX , le long de cbacune l'ordonnée y aura la même 

 valeur, et l'angle « sera le même; on voit que l'équation (i) définit 

 une infinité de trajectoii^es toutes égales, qui cou])ent sous des 

 angles a déterminés les parallèles à l'axe OX qu'elles rencontrent. 



Les divers éléments géométriques de la courbe peuvent se déduire 

 de féquation (i). 



Rq/yon de courbure p. 



On a d'abord pour l'arc élémentaire ds 



ds = 1/ dx' + dr' = F' (a) r/« ^^ I + cot «2 - ^.^^ ^ 

 et par suite 

 (3) '^^ ^' ^«^ 



TÛ^P 



sin « 



Coordonnées x', y' du centre de courbure. 

 On a en général 



r'-j^ = l±J^, x'-x = -P<^+Pr 



Dans ces équations p est la première dérivée de j' par rapport à 

 X, et l'on a p = tang a ; q est la seconde dérivée , ou la dérivée de 

 p par rapport à x ; on a donc 



dp dp pdp 



<I = 



dx l(()'\ <[)' 



expression qu'on peut introduire dans les équations qui donnent y 

 et X . Il vient 



1- __ 11- = : — V V ' 1 / ^ 



