KD. COI.LIGNOX. — PIIOBLEME DE GÉOMÉTRIE 



On a de plus, en faisant usage de l'égalité p = tang a, 



I -\- p- = 5— , dp = 



2 ' 



et enfin cl^' = F' (a) dx ; ce qui conduit aux relations 



(4) 



r' =j' + 



^ F' («) doc 



tang « ~ 



cos'' a 



= j- + 1"" («) cot «, 



(5) 



COS^ a 



F' (a) ^/. 





F' («). 



COS^ a 



On voit que la première dérivée 

 F' (a) de j- par rapport à « est 

 représentée sur la figure par le 

 segment SP (fig. 2), compris sur 

 Taxe OX entre les ordonnées du 

 point M et du centre de courbure 

 correspondant. 



L'équation (4), où l'on rempla- R 

 cerait 7- par F («), exprimera l'or- 

 donnéej^' de la développée de la courbe en fonction de l'angle a ; si 

 donc on introduit l'angle «' que fait la tangente CMN à la développée 

 avec l'axe OX, on aura l'équation de cette développée dans le 'sys- 

 tème de coordonnées ()'•, a). L'angle a' est é^al à c/ -4- — : on a 

 donc a = a' — —, et l'équation 



S P 



Fig. 2. 



(^>) 



r 



F lu' — 



7r 



tang a 



est l'équation de la développée. 



Relation entre le rayon de conrhure et la tangente. 



Minimum de la longueur de la tangente MR et de la normale MN. 



La tangente jNIR =: ^ a pour longueur 



il) 



t = 



sin « 



F(«) 

 sin a 



