ED. COLLIGNON — PROBLEME DE GEOMETRIE II 



sera la normale infiniment voisine de MC, et la formule fera connaître 

 la nouvelle valeur du rayon de courbure M' G' au point M'. On passe 

 donc des points M et G aux points infiniment voisins M' et G'; de 

 ceux-ci, on passera aux points M", G", et ainsi de suite, de sorte que 

 l'on trouvera à la fois, de proche en proche, la courbe AB et sa 

 développée, par une suite d'éléments circulaires pour x\B, recti- 

 lignes pour la développée G' G'. La figure lo montre la construction 



de la courbe définie par une valeur constante du rapport - • 



GHAPITRE PREMIER 



RECHERCHE DES COURBES OU LE RAYON DE COURBURE 

 EST PROPORTIONNEL A UNE PUISSANCE DONNÉE DE LA TANGENTE. 



Proposons-nous de trouver des courbes définies par une relation 

 de la forme 



p désignant le rayon de courbure , t la longueur MR de la tangente à 

 la courbe et A un coefficient constant. Ge problème rentre dans un 

 problème beaucoup plus général, qui consisterait à chercher les 

 courbes dans lesquelles on aurait 



/désignant une fonction donnée ou prise arbitrairement. 



Mais ce problème général présente des difficultés analytiques qui ne 

 permettent guère de le résoudre indépendamment de la forme de la 

 fonction y. Nous supposerons ici que cette fonction soit de la forme 

 A^"*, et nous poserons 



en appelant a une longueur et h un nombre , hypothèse qui met en 

 évidence l'homogénéité de l'équation (i). 



Dans cette équation , remplaçons p q\ t par leurs valeurs en fonc- 

 tion àe y et de a, données dans l'introduction; il viendra 



dy , r'" 



sin « f/a «'" ^ ^ (sin a) ^ 



équation où les variables se séparent et qui devient 



dy h du 



(P) 



y m «m — 1 (sin a)'" — ' 



