12 MATHEMATIQUES, ASTRONOMIE, GEODESIE ET MECANIQUE 



L'intégration de cette équation s'opère au moyen de deux quadra- 

 tures et conduit à une équation de la forme 



jr = F («). 



Examinons successivement divers cas particuliers. 

 1° Faisons 771 = 0. Il viendra 



d)' = ha sin a dix, 



et par suite 



dx = dj' cot a = ha cos a f/«. 



L'intégration, puis l'élimination de « conduisent à l'équation géné- 

 rale d'une circonférence, 



(r — C)2 + (.V — cy = /r fl-, 



résultat évident à priori, puisque faire m = o, cela revient à rendre 

 constant le rayon de courbure p, qui devient égal à ha. 



2" Donnons à 77i des valeurs entières négatives. Il viendra pour 

 771 = — I , 



j- dy = ha^ sin^ a da. 



r"' I / I . \ 



dont l'intégrale est ^— =z C -\ /m^ l« — — sin2al; 



et pour m = — 2 , 



j'^ dy = ha^ sin' a da = ha^ iy sin k dx — -r sin' ci\ dx, 



ce qui donne par l'intégration 



y^ / I 3 \ 



4r = G + ha^ — cos 2 a — -7- cos a )• 



3 ' \l2 4 / 



De même pour 7/1 = — 3, et pour toute valeur de m entière et 

 négative, on aurait à intégrer dans le second membre une somme de 

 termes renfermant en facteurs des sinus ou des cosinus de multiples 

 de l'arc «, dont l'intégration est immédiate. 



3° Examinons enfin les valeurs entières et positives de m. Nous 



aurons 



dj' 

 pour 771 =: I, —^ = hdu, y = Ce'^", 



dy h du ,^ T A 7 / « 



pour m =■ 1. -^-5- = -■ , Li = — M tang — 



^ j"* a sin « j- a \ ^ '2 



„ dy h da. ,, 1/7 



pour 77i = 3. — =T- ^=: —5 -r-^ — > <^ -, H 2 ^ot a = o. 



^ ^'^ rt^ sin^ a 2^- rt-* 



