ÉD. COLLIGXOiV — PUOBLÈME DE GÉOMÉTRIE IQ 



Eli (lelioi's de ce cas fictif, nous n'avons rien trouvé qui] pût 

 ramener la fonction à une forme intégral^le. Nous chercherons ici un 

 développement en série qui soit applicahh-, sauf des modifications 

 faciles à exécuter, à l'ensemble de la courbe. 



Commençons par fixer les limites entre lesquelles il convient de 

 prendre les quadratures. 



Les équations qui donnent l'ordonnée et l'abscisse d'un point de 

 la courbe, 



\ X = G + CA Çe^'- cot « c?«, 



peuvent être appliquées, à toutes les valeurs réelles de l'arc a. Si nous 

 faisons croître par exemple « en progression arithmétique, en lui 

 attribuant les valeurs 



O, TT, 27r, Jtt, 4^, 



les valeurs de ;- seront les termes de la progression géométrique 



C, Ge''^ Ge2/'% Ge^/'^ Ge^"-, ; 



les valeui's négatives de « 



TT. 2 TT, 3 TT 



donnent à j- les valeiu's positives 



Ce-K Ge-2'i-, Ce-5/'- 



dont la série prolonge la progression géométrique dans le sens 

 rétrograde. La courbe a en réalité une infinité de branches, dont 

 chacune est comprise entre les parallèles consécutives 



qui sont les asymptotes de la courbe, parallèles à l'axe OX. 



Pour étudier la forme de la courbe, il suffit de considérer l'une de 

 ces branches en particulier, celle, par exemple, qui est comprise 

 entre les parallèles 



en attribuant au facteur k la valeur zéro. 



Pour achever de construire la courbe, il faudrait exprimer .v en 

 fonction de l'arc a, ou intégrer l'équation qui donne dx. Il vient 



X — G' = Ch I e'«« cot « (la 



équation qui contient une nouvelle constante arbitraire, G', laquelle 



