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ÉD. COLLIGXOX — PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE 



c'est-à-dire une somme de termes, dont les uns sont de la forme 



M «g- cos a dy.. 

 et les autres de la forme 



N y.gcl(/., 



N et N étant des coefficients connus et g un exposant entier, positif 

 et détermine. Ces termes sont tous intégrables. On a 



up: du 



/' 



î->' 



Quant au terme uS cos a dv., on peut, pour l'intégrer, appliquer la 

 règle suivante : 



« Ecrivons, dans une colonne verticale, aS" et ses dérivées succes- 

 « sives jusqu'à la valeur constante qui termine la série ; en regard 

 « écrivons sin « et les dérivées successives de sin a, qui reproduiront 

 « périodiquement les termes sin a, cos a, — sin «, — cos «, série 

 « qu'on prolongera autant qu'il est nécessaire ; puis faisons le pro- 

 « duit des dérivées de même ordre placées en regard l'une de 

 « l'autre dans les deux colonnes. La somme algéljrique de ces pro- 

 « duits donnera l'intégrale demandée.)) 

 On aura 



et par suite 



J v.g cos y. dy. = y.g sin a 



a.H 



gy.g-^ 



g{g—l)y.g 



Sin y 



cos y 



— sin y 



o- — 1 



cos y 



+ 8'a 



— 2 



sm y 



Il est aisé de vérifier la règle en prenant la dérivée de la fonction 

 qu'elle conduit à former. Elle est applicable de même à la recherche 

 de l'intégrale f y? sin a dy, sauf à partir de — yg cos a; ce qui 

 revient du reste à changer cos y en sin y, et sin y en — cos y, dans 

 l'intégrale générale de f yg cos y dy. 



Prenons quelques exemples simples : 



/ 



f' 



S' 



y cos y dy = y sin a -\- cos y, 

 ^ COS y dy ■= y? sin a -|- a a cos y — i sin a, 

 y? cos y dy = y? sin y. + 3 y? cos y. — 6 5< sin a — 6 cos a, 



