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MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Or, ces expressions, sans être absolument inexactes, ne sont pas 

 généralement exactes; elles ne peuvent l'être d'après Lagrange et 

 Kirclihoff, que si l'on a déterminé a, b, c de manière à obtenir pour 

 t = o le point initial du mouvement moléculaire , ou bien la surface 

 initiale du mouvement de déformation et de déplacement des vélo- 

 cités. C'est pour satisfaire à cette obligation qu'ont été inti-oduites 

 les quantités E destinées à avoir une première détermination au 

 moyen des équations aux dérivées partielles de l'Hydrodynamique , 

 puis une seconde et définitive détermination au moyen des équa- 

 tions (19), en opérant conformément aux conditions établies par 

 Lagrange et Kirclihoff. 



4- — Si, dans le but de généraliser les formules (18), on y remplace 

 a, b, c i^ar des fonctions arbitraires f,-^, y. de ces variables, il vient 



(20) l p = 



I 



^1= 



I 



A 



où A désigne le déterminant fonctionnel des quantités r^, -i^, x. Or, en 

 substituant dans ces égalités les expressions développées des quo-^ 

 tients différentiels de y, \|/, x; décomposant les résultats en détermi- 

 nants partiels , de manière à éliminer ceux qui se détruisent et recons- 

 tituant ensuite les déterminants fonctionnels , on olitient les relations 

 suivantes : 



d<f dtf d(f 

 da db de 

 d^ d^ f/ij/ 

 da db de 



dy. dy dy 



da db de 



/ \ ) UMJ u^i «ui / , uu au ue 



da db de 

 dx dj' dz 



df df df 

 da db de 

 d-^ d^ d^^i 

 da db de 

 dx dx dy 

 da db de 



a, «3 at 



b, b,bt 

 Ci Ci ct\ 



qu'il est aisé d'ailleurs de vérifier. 



Par conséquent, les expressions (20) se réduisent d'elles-mêmes 

 par l'élimination du facteur commun de leurs deux termes, aux 

 expressions (i^) et on ne peut pas augmenter leur généralité. La 

 première obligation à laquelle doivent satisfaire les composantes de 

 la vitesse est de remplir la condition de continuité du fluide qui 

 s'exprime, comme on sait, par l'équation : 



dp 

 Tt 



il 



dx 



(-5) -^^+P^ + ^/^- + '' 



dp 

 dx 



+ 



dp dq dr\ 



^' + 5"- + di.r 



