É. FONTANEAU. — PRÉLIMINAIRES d'hYDRAULIQUE Sq 



On en obtient une première intégrale en observant qu'à raison de 

 l'identité n = o et en multipliant respectivement les deux termes de 

 chacun des trois rapports respectivement par ;' - — z, z — x, x — y 

 et faisant la somme des produits, il vient 



(6(3) Q. _ c) ,/,v + (c - .V) dy + (.V -J-) (h = o, 



équation qui peut remplacer l'une des équations (65) ; elle est inté- 

 grable et on en déduit 



(67) P-'^'~' 



X — 



Pour avoir une seconde intégrale, il faut dabord éliminer z de 

 <;elle des deux premières équations différentielles (65) où n'entre pas 

 sa différentielle.. On a pour cela 



r — jS-V . I ^__ — px + i'i — p)j' (i — 2,5).V+J ^ 



■^ ~ I — /3 -^ "1 '■■ "■ I — .3 .. -t- .\ — j _ ^^ 



,. , ,.. , ,. _ ^-.v- + (;5- - 3^) -vr + (^- - 3p + 3)j- 



., I ., I ^. (35--35+i)A-^+'(r-33)Afr+.r 



•et il vient ])Our l'équation à intégrer 



dx 



A[/3^v^ + C3^-3j3).v:;- + (/S^-3p + 3)j-] + 2G(i-/5)[2j'-p(.v+;')] + D(i-|3)^ 



— A[(3,S^-35+i)A- + (i-3fi).v;'+j-]V2C(i-,5)[(i-2p)eV+ji+D(i-p)^ 



Si pour simplifier on jiose 



X = A (j- +j-:. + z-^) + 2C (j- + c) + D 

 Y = A (c^ + ^-v + .v^) + 2C (c. + .V) + D 

 Z = A (A- + xj' +J-) + 2C (A- +J-) + D, 



le dernier multiplicateur f* de l'équation différentielle (68) aura pour 

 expression, d'après le théorème de Jacobi, 



M 



dz 



en désignant par M un facteur commun tel que l'on ait identique- 

 ment, 



d (MX) d (MY) (/ (MZ) _ 



~(br + dy + dz -^ 



(Boole, Équations différentielles, cli. XXXI). 



