102 MATHEMATIQUES, ASTRONOMIE, GEODESIE ET MECANIQUE 



Il est incontestable que pour de petits modules il est plus court 

 de procéder directement par le calcul. Mais mon but, en donnant 

 cet exemple, est de montrer que la méthode des cycles est absolu- 

 ment générale et ne souffre pas d'exception. A mesure que les racines 

 primitives augmentent, il devient fastidieux de compter des cases 

 en marchant sur la piste des nombres entiers successifs ; on supplée 

 aisément à cette opération en promenant sur cette piste une bande 

 de papier de longueur équivalente au nombre de cases à compter. 



Théorème de Wilson. — L'étude des tables de module composé 

 donne également une démonstration du théorème de Wilson. Au 

 Congrès de Paris, avec M. Laisant, nous avons montré que le signe 

 ± de I dépendait uniquement du nond^re des racines carrées du 

 chiiYre i. La proposition prend alors la forme suivante : « Le produit 

 de tous les chiffres premiers à un module M quelconque est -f- i 

 ou — I, suivant que la table des puissances a une ou plusieurs 

 lignes; » proposition très concise. On peut dire également « suivant 

 que -^{n) est différent de '^{m) ou qu'il lui est égal ». 



D'ailleurs, ces propositions fondamentales, théorèmes de Fermât, 

 théorèmes de Wilson , sont des sortes de carrefours , auxquels con- 

 duisent une foule de chemins et qui peuvent prendre une foule 

 d'extensions différentes. 



Ainsi, si l'on se rapporte à la loi des coefficients en fonction des 

 racines, dans l'équation a"' — ^ -|- a = o, le dernier terme est égal 

 à ± Sn , c'est-à-dire au produit des n racines pris avec le signe -}- 

 ou — suivant que n est pair ou impair; or (m — i) est toujours un 

 nombre pair, m étant premier impair. 



Cette loi s'ap])lique également aux tables de puissances d'imagi- 

 naires de module premier impair, « le produit de tous les termes de 

 la table est égal à — i ». 



En effet, le module des indices pour ces tables est in" — i. L'indice 

 d'un produit est égal à la somme des indices des facteurs, c'est-à-dire 



^^ — — — -; or, dans les tables de puissances d imagmaires 



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l'indice correspond au terme — i. 



C'est même là un des moyens que le calculateur a à sa disposition 

 pour raccourcir le calcul des tables de puissances d'imaginaires; 

 quand on a écrit la première moitié de la table, on obtient la seconde 

 moitié en changeant les signes des coefficients de ï", /' , i'^ /" ~ '. 



