L, LECORNU. — SUR LES MOUVEMENTS PLANETAIRES II9 



mille (8). parcourues dans le même temps T. Toutes ces ellipses 

 admettent le même cercle directeur C , de rayon ia , ayant le soleil 

 pour centre. Le lieu du second foyer F est une circonférence de 

 centre P et de rayon ia — i\. Pour construire la trajectoire passant 

 par deux points donnés P et P', il suffit de remarquer que , a étant 

 connu, on connaît les distances du second foyer, F, à ces deux points. 

 Il y a évidemment deux solutions. 



Cherchons l'intersection de deux trajectoires admettant le même 

 point de départ P et la même vitesse initiale Co. Soient F et F' les 

 seconds foyers de ces deux courbes et soit P' un point d'intersection 

 autre que P. On a P'F + PS = FF' + PS, d'où P'F = P'F'. Mais 

 déjà PF = PF'. Le point P' se trouve donc, comme P, sur la perpen- 

 diculaire au milieu de FF'. On en conclut que les deux coniques n'ont 

 qu'un point d'intersection réel en dehors de P. Si F' se rapproche 

 indéfiniment de F, la position limite de P' se trouve sur le prolonge- 

 ment de PF. La corde focale PQ détermine donc le point de contact 

 Q de l'ellipse avec son enveloppe. 



Il est aisé de trouver le lieu de Q. On a en effet PF = ia — i\ et 

 FQ + QS = 2«, d'où PQ + QS = 4rt — r,. Le lieu de Q, c'est-à- 

 dire l'enveloppe des ellipses (E), est donc une ellipse (L) dont les 

 foyers se trouvent en S et P. Cette dernière propriété est énoncée , 

 sans démonstration, dans les Exercices de Mécanique rationnelle 

 de M. de Saint-Germain (2'"^ édition, page 261). 



L'ellipse (L) a pour grand axe ^a — /'p. Elle est tangente au cercle 

 directeur (C). Elle délimite les régions du i)lan qu'il est possible 

 d'atteindre en partant de P avec la vitesse initiale ('„, c'est-à-dire le 

 domaine correspondant à cette vitesse initiale. En faisant varier c^ 

 sans changer la position initiale P, on fait varier l'enveloppe (L). 

 L'ensemble de ces enveloppes constitue un système d'ellipses homo- 

 focales. Il est clair que, si la vitesse initiale est dirigée d'une manière 

 quelconque dans l'espace au lieu d'être contenue dans un plan fixe, 

 la limite de chaque domaine devient un ellipsoïde de révolution et 

 l'ensemlile forme un système d'ellipsoïdes de révolution homofocaux. 

 Pour une valeur donnée de ç^ , le lieu des centres des ellipses (E) 

 est homothétique, par rapport à S, du lieu des foyers F : c'est donc 

 une circonférence. On en conclut que le lieu des périhélies et des 

 aphélies est un limaçon de Pascal. Le lieu des extrémités du petit 

 axe est évidemment une circonférence de rayon a. 



IV. — Si le point attirant S s'éloigne à l'infini dans une direction 

 déterminée et si, en même temps, la constante K grandit dételle 



