I20 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



manière que — tende vers une limite finie g; on se trouve finalement 



en présence du mouvement d'un projectile pesant. L'ellipse E dégé- 

 nère en parabole. L'ellipse enveloppe L devient la parabole de 

 sûreté. Le cercle directeur C a pour limite la directrice commune à 

 toutes les paraboles de tir. 



Pour voir ce que deviennent les équations (9) dans ce cas extrême, 

 il convient de compter les angles à partir de la ligne SF, dirigée 

 vers l'apbélie, tandis que les formules (9) sont écrites, suivant l'usage, 

 en dirigeant l'axe polaire vers le périhélie. Cela revient à remplacer 

 M et ô par tt — h et tt — 0. En comptant, en outre, le temps à partir 

 de l'instant du passage à l'aphélie et désignant par n le moyen mou- 



venient — , on a : 



nt = Il -[- — sin II j' =1 a il 4- — cos u\ 



Mais — tend vers l'unité et il en est de même du rapport — , en 

 a 2a 



vertu de la formule (7). Cela exige que u devienne infiniment petit. 



On peut alors écrire : 



nt =1 au j^ r= aa — a — 



D'ailleurs, n = —j-, ou, d'après (G), ii = — i / — 



Si l'on remplace k par gr^'', on a : /i = — ^ \i ^ ^ v 



d'où 11=1 t II K. et r = 2« gt-. 



\ a 2 



On vérifie ainsi que l'accélération verticale du mouvement limite 

 est égale à g. En projection horizontale, le mouvement limite est 



re^wésenté par la limite de la fonction /- sin 0, égale à hii ou 6/1/^. 



Soit y. l'inchnaison de la vitesse initiale ('„ sur la perpendiculaire au 



rayon vecteur. On a : C = /)o Cq = *'o ''0 ^^^ y.=^ 1 ah \J -^-^ ce qui 



permet d'écrire : lim. 7' sin — ''" ^'0 ^^^ ''' = p cos a.^, et l'on 



retrouve la loi connue. • 



La représentation du mouvement planétaire par la cycloïde rac- 

 courcie de la figure 4 peut être considérée comme une générahsation 

 du mouvement parabolique : en projection horizontale, le mou- 



