124 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MECANIQUE 



Il en résulte que les coordonnées du point M sont 



(m -\- n)X = na cos 'f -\- m — cos' 'f . 



(m -j- n)Y = nh sin '^ — m -^ sin' 'f. 



Le lieu de M est une sextique unicursale , ce que l'on voit facile- 

 ment en posant tg- = t. La dilTérentielle de l'aire du lieu de L est 



rfU=Mx^Y — Yf/X). 



Or 



(m -f n) dX = — ina sin f + 3m — cos^ f sin 'fi d<f, 

 (m -\- n)' dY = inb cos 'f — 3m t- sin' f cos tp d'f. 



Donc 



2 (^1)1 _^ ny- -r- — bxa cos y + n - cos^ y Uih cos '^ — 3m -^ sin' ? cos '^^ 



-j- Info sin 'Sj — m ^ sin ' 'A [ixa sin 'f + 3m - cos' 'f sin A. 



rfU ' , mnhc'' , mnac^ ., 



2 (m + n'O ^ = /i'a& + — ^- cos^ 'f — — ^ sin ? 



3 mnac^ , 3 mnbc^ . ., , 



— " sin' * cos' y + sm' f cos' 'f 



3m'c* . , 37?jc* . 



— — p- sm' * cos' 'f — — j- sur 'f cos- 'f . 



1 (m + n)' -^ = n'aft — — ^— sin' f -{ -^ cos' 'f 



3mnc' . 3m'c* . ^ 



— — r^— Sin' 9 cos' * — — r- sin' ^ cos- y. 



ab au 



Par conséquent, en intégrant de y = o à y = 27r, on a l'aire totale 



( , innc'' i . , , 

 I dy — —^ j sur 'y d'f 



o , "^ o 



3ynnc' C^ . , 3A/i'c' T" . ., 



— —^ f sin' f cos' ^ «?y - -^ j sin- '^ cos' 



f/?. 



