4 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



On peut, suivant les circonstances, exprimer D en fonction de x, y, z 

 ou de ç, tj, Ç et le faire passer ainsi du numérateur au dénominateur el 

 réciproquement dans les expressions (4) et (3). 



Ces formules ne sont pas nouvelles, car Lagrange à qui elles sont pro- 

 bablement dues en a fait usage dans la mécanique analytique pour établir 

 les équations différentielles de l'hydrodynamique. Si je les reproduis ici. 

 c'est à raison de leur grande importance pour le sujet dont je m'occupe ; 

 car chaque modification dans la loi du mouvement d'un liquide se traduit 

 par une condition spéciale qui s'impose aux surfaces dont l'intersection 

 donne les filets liquides et par suite aux systèmes de coordonnées curvi- 

 lignes dont l'emploi facilite l'intégration des équations de l'hydrodyna- 

 mique. 



Si dans les identités (1), on suppose que x, p, y représentent des 

 coordonnées bi-orthogonales, on a immédiatement : 



(3) D 2 = A 2 B 2 C 2 — A-B 2 C 2 cos 2 G. d'où D : -. ABC sin 0. 

 et il résulte des formules 3) : 



idQdy d&dy .„_ . dx BC . dx 

 ■TT—7 L t= AHC sm — = — sin 6 — , 

 du dz dz du dot, A dx 



dvdx d-' dx BC . dx dvd y. dv dx BC . • dx 

 -rz ^ r = T smO r , -r±-- L — smQ — > 

 dzdx dxdz A du dxd;/ dydx A dz 



relations déjà obtenues dans un précédent travail (Congrès de Nantes, 1898). 

 2. — Soit à considérer le cas où pour tous les points d'un liquide en 

 mouvement l'axe de la rotation élémentaire coïncide en direction avec la 

 vitesse. Ce problème dont j'ai donné des solutions particulières peut être 

 traité généralement comme il suit. On a pour les conditions à vérifier : 



(7) 2L == p-A, 1M = (/x, 2N = /x, 



et il en résulte que les composantes de rotation L, M, N doivent vérifier 

 les équations : 



N /dL dN\ M /rfM__dL\ , l*t, L ,_ u*4_ns — o, 



\dz dx) " \dx dyj y.dx 



(Congrès de Saint-Etienne, année 1897). 



