FONTANEAU. — INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE 5 



Soient R îa rotation élémentaire et X, p, v ses cosinus directeurs par 

 rapport aux axes rectangulaires des x, y, z ; on a : 



(9) L = XR, 



et il en résulte : 



M = pR. 



N = vR, 



(10) 



. dv dp\ /dX 



l (dy—7TJ-' J \^ 



dz) l \dz dx] 

 Par suite les équations (8) deviennent : 



dv\ /dp dX 



dx dy 



ïdx p 2 --v 2 dR i XudR 

 xdx 



vXdR 

 Rdi 



11) 



R dx R dy 

 ldx , XpdR v 2 _f-X 2 dR pvdR 



+ -^T7 + ô'^ + ^' + ^E + v^; 



+ TT— -^-^-^^-^H-^--^ 



Rrfx 



R rfi/ ' Rd; 



dX 



d# 



dp 



d# 



1 dx vX dR 



xd3 R dr" R dy 



dX dX 



— -A- v — 

 «?/ d: 



dp dp 



dy"^~ W d~: 



dv dv 



pvdR X a --p»dR dv 



d^ dx dy dz 



R 



■0. 



■0, 



0, 



et il faut y joindre les deux suivantes 



,. as , dx dx dx 

 (12) X d* + ^ +V d^° 



X dR p dR , v dR dX dp dv _ 

 Rdtf + R^ + Rd7 + d^ + dy + ds~ 



On en conclut 



(13) 



•H 



log- 



du. 



H- 



d^ 

 dv 

 dx 



dX dp / dv dX\ 

 dy dy \ dz dzj 



dy 



dx 



dv 



dX 



dx 



dX 



dx 

 du 



X 



du 



dx 

 dv 



M 



d// l dy 



d^ ? 



et pour les conditions d'intégrabilité 



dp\ dX /dX 

 ds/ dy \d^ 

 dp\ dp /dX 

 d^/ dy \ds 

 dp\ dv /dX 

 dzj^dy \dz 



dv \ dX /dp 



dx] dz \dx 



dv \ dp /dp 



dx/ ds \dx 



dv\ dv /dp 



dx/ ds \dx 



d_X\ 



dy/' 



dX\ 



dX 

 dy 



Ces relations se réduisent à deux en vertu de la première des égalités (12) 

 et de la condition à laquelle sont assujettis les cosinus X, p, v. 



