12 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MECANIQUE 



miner la fonction y, il est clair qu'il doit y avoir une dépendance mu- 

 tuelle entre les vélocités et les vorticites (a). Si l'on a : 



71=<p(p, Y ), C = +(P,ï). 



il vient : 



d2_ ,<hcll dzdl\clD dZ/dodty dydty\dD 



dT i ~~\dld : : ~d : : dp) d^ t ? d\ 2 ~~ \Jîp rfy ~ d 7 ; dp) dT 2 ' 



rfS /dz dl dy d-l\ dU 



dï a — \dp d- : df dp) dx 3 ' 



et il résulte des expressions (22) et (23) : 



2Mr — Sty = 0, 2N> - 2Lr = 0, 2Iv/ — 2&fj> = ; 



c'est le cas du problème traité au numéro précédent, pour lequel on doit 

 avoir / = constante. Mais si l'on a seulement 7j = çp(p), la fonction t, de- 

 meurant arbitraire, on aura : 



d2__d<?{d$dï dpdÇ\ rfS _éf/dfd(, dpdX. 



dl t d$\dydz dzdy! dl 2 dp\dzdx dxdzj 

 dS__d<p/dpdÇ dpdl 

 dl 3 dp \dx dy dy d.r 



et les équations (29) ne pourront être vérifiées simultanément que par une 

 fonction y de 3 et il faudra qu'on ait : 



(*(\ OU »N dFd ? cv ~,t dFd > or cm d¥,l s 



(30) «r-Wg= 5a E, 2>p-2L,- = --, 2L,-2Mp = --- 



en posant % = F((J). De la relation qui existe .dors entre 3 et tj, il résulte 

 que si la première de ces quantités est constante, la seconde doit l'être 

 aussi, et on a celte proposition : 



Théorème. — Lorsque chacune des composantes L. M. N, de la rotation 

 élémentaire, vérifie en tous les points d'un liquide en mouvement l'équa- 

 tion aux dérivées partielles de la conductibilité calorifique, l'une au moins 

 des deux séries de vorticites se confond avec une des séries de vélocités. 

 Cette proposition peut être considérée comme la généralisation d'un théo- 

 rème analogue obtenu d'une autre manière par M. Poincaiv pour un 

 liquide sans viscosité animé d'un mouvement permanent (Théorie des 

 Tourbillons, eh. n, p. 31). On peut en faire usage pour établir les 



La fonction / égalée à une constante duil donner simultanément une vélocité et une vorticite. 



