14 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



où, comme plus haut, j'ai fait usage pour simplifier des égalités: 



(d } dx^dy ^ dz - ' dx^dy ~t~ dz ' dx ^ dy ' d 



d-o 



= o 



Mais il faut encore satisfaire aux relations (30) ; or, si l'on forme leurs 

 premiers membres et qu'on les simplifie en faisant usage de l'équation (33) , 

 le calcul ne donne que cette seule équation aux dérivées partielles : 



'dp d-; rfp dj\ d*j mdj ,d$dj\d*y 



\dydy dzdz) dx 2 \dzdz dxdx/dif 



(35. 



i (*% ( ll J_ (l î *ï\ d^__/dld±,d^dr\ , d*y 

 ~ \dx dx dy dy) dz' 1 \dy dx dx dyj dxdy 

 (d$ dy dp dy\ d^_ /e$ dy d£ dy\ d*-; 

 " \dz dy dy dz) dydz \dx dz dz dx) dzdx 



\dy- ^ dz 1 ) dx ' \dz* "^ dx 1 ) dy 

 (d^.d^d^d^dydyd^ dydy 

 Kdx 1 dy 1 ) dz ~*~ dxdy dx dy " d 



dydz dy d: 



d 2 3 dydy dF 

 " dzdx dz dx d r p 



en désignant par F une fonction arbitraire. On aura donc à intégrer les 

 deux équations simultanées aux dérivées partielles du second ordre (33; 

 et (3o), puis à vérifier les équations linéaires : 



(36) *-»-*L = 0. f-^M = 0, f-fv^O. 



D. 



On peut aussi se proposer les conditions plus simples 



<*> f-^=°< §->=°- H AV=0 - 



et le calcul précédent n'en serait pas modifié ; mais alors l'intégration des 

 équations (28) serait immédiate et on aurait : 



(38.) 



k = Y-*-?"* 



2 



:F(P) + T, 



en désignant par T une fonction arbitraire du temps/. M. Poincaré a 

 donné pour le cas du mouvement permanent, au passage cité de sa Théorie 

 des Tourbillons, une formule analogue, mais moins précise. Gela résulte de 

 ce qu'il a adopté, sans modifications, les formules de HeJmlioltz et de 



