FONTANEAU. — INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE lo 



Kirchhoff, moins générales que celles dont j'ai fait usage, comme je l'ai 

 fait voir au n° 10 du Mémoire sur V Hydrodynamique (Congrès de Nantes, 

 1898 ; voir aussi : Hclmholtz, Ueber Wirbelbewegungen, § 5). 



Pour donner une application simple des résultats qui précèdent, je 

 suppose que l'on ait : 



(39) $ = ax-\-by-t- cz. 



Il en résulte pour les équations générales une assez grande simplifica- 

 tion, car elles se réduisent à : 



f (*■+ «•>£? +(*+"'> S +< a, + 6J > S 



r/ 2 -' r/ 2 v /7 2 v d-v 



p- + (c 2 -f a 2 ) 3-1 -f (^ + & 2 ) t 1 - 2a6 ff 





v ; ï \ dy dz/dx*~\ ^z dxjdif^\ dx^ dy / dz- 



\S+ a *t\*l&+ b *iX*' 



dx dyjdxdy \ dy dzjdyd: 

 ( dy dv\ d*y dF 



( f/ - -U c ■ — ta — • 



\ dz dxjdzdx d(3 



Cette hypothèse correspond au cas du mouvement de l'eau dans les 

 canaux découverts dont 31. Bresse donne ainsi la description (Hydraulique, 

 chap. iv, n° ti6) : 



« Nous admettons que le fond du cours est un plan dont les horizon- 

 tales perpendiculaires au fil de l'eau ont une largeur indéfinie. Sur ce 

 plan, et suivant la ligne de plus grande pente, glisse une première couche 

 de liquide infiniment mince ; sur la première couche glisse parallèlement 

 une seconde, sur la seconde une troisième, et ainsi de suite. » 



L'intégration des équations (40) permettrait de renoncer à la plupart 

 des restrictions usitées en hydraulique, mais elle paraît sujette à d'assez 

 grandes difficultés. Soit cependant a = 0, b = 0, c = 1, d'où p = 2; 

 il vient : 



f/ 2 y d 2 y _ d( /d 2 y , rf 2 Y \ __ dy d 2 y _ dy d*y _ rfF 



rfâi" dy' z ~ dz \dx' À dif) dx dzdx dy dydz dz 



et en intégrant : 



où f désigne une fonction arbitraire. On a des méthodes pour intégrer 



