1G MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



séparément ces deux équations aux dérivées partielles du second ordre 

 et linéaire, tandis que l'autre est non linéaire, mais du premier ordre, 

 et la principale difficulté de leur emploi sera de déterminer leurs solu- 

 tions communes. 



Pour intégrer sans hypothèse particulière les équations (40). j'observe 

 qu'on peut les présenter ainsi : 



(a 2 + /> 2 + c 2 )A 2 y 



\ dx* ^ dy* dz* dxdy ' dydz dzdx) 



\ dx dy dz) \dx dx* dy dxdy r dz dzdx) 



b (dy rf'r . dyd*y dy d*y 



\dx dxdy dy dy* dz dydz 



/dy d*y dy d*y ( dyd*y\__dV 



\dx dzdx dy dydz ^ dz dz % ) dp 



Soit 



(42) a p +b *L +<> p-_=r, d -f + d Ji + '^=.o. 



1 dx dy dz dx dy dz 



On pourra mettre les équations à intégrer sous cette forme : 



dY , dr dT 



dx dy dy 



dC ir dC dC d¥ 



T A 2 y = aL — -f bL — + cL — -f — - • 

 1 dx dy dz- r/i 



Il en résulte : 



dV , rfr dr n dC , Ln dC , JC, rfF 



a — -j- 6 — - + c — aC — + 6C — -|- cC — 4- — 

 «# «;</ as (te (/?/ </; o|3 



(4o) A 2 y = '■ = , 



v ; ' a a -f6 2 + c a r 



et si, pour simplifier, on pose : 



(44) F 2 — (a 2 + b* + c 2 )C 2 = A 2 , 

 il vient : 



(45) aX ^ + ÔA ^ -f c\ ^ = (a 2 + 6 2 + c 2 ) ^ ■ 

 v ' dx dy dz . dp 



C'est, par rapport A 2 , une équation aux dérivées partielles du premier 



