FONTANEAU. — INTÉGRATION DES EQUATIONS DE l'hYDRODYNAMIQI l. I I 



ordre et linéaire doDt l'intégration est facile à effectuer. Pour cela soient 



/. m, n et À, [X, v, deux groupes de constantes pour lesquelles on ;iit : 



al + bm -f- CV> = 0, a\-\- b[x + cv = 0, 



il vient par la méthode usuelle : 



a 2 4-6 2 +c°- fdF 

 a 

 - «I»(/jj - - hm/ - - ?i-, îx -f- [x.y + v -)- 



rt a 2 4-6 2 -4-c 2 /»rfF , 

 aj = r » — (a s + b* -f «»)C» = 2 - - — / — dx 



,40) v a J dp 



Après avoir effectué l'intégration indiquée suivant la règle habituelle, 

 il n'y aura plus qu'à substituer à F 2 et à leurs expressions (42) pour 

 avoir une équation aux dérivées partielles du premier ordre que devra 

 vérifier y ; on obtient ainsi : 



l rft/da dsr/iC a J d^ 



[ + $(2sc + my + »«, >.x + \xy + v- = 0, 



où <I> désigne une fonction arbitraire. 



Cette équation peut remplacer la seconde des équations (40) et par con- 

 séquent on a deux équations simultanées pour lesquelles, considérée-; 

 séparément, on a des méthodes connues d'intégration. La recherche de 

 leurs solutions communes présente néanmoins des difficultés qui ne peu- 

 vent être abordées sérieusement qu'à l'occasion d'un problème d'hydrau- 

 lique parfaitement défini. 



Je me bornerai ici à vérifier la théorie en prenant pour y une expres- 

 sion particulière. Soit : 



i Y = Ax a -f Ay + AV + ZBocyz + 2B'^ + 2B"jcy + 2Gr 

 (48) j +2C'7/+2C' / z; 



il vient par la première des équations (40) : 



2A(6 2 + c 2 ) -f 2A'(c 2 4- a 2 ) 4- 2A"(a» 4- &) — 4aôB" — 46cB 



— 4caB' = . 



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