30 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



el pour l'expression de r : 



m > p =/(?«+t) ,, *'-(^ + v)*- 



Pour que le second membre de cette égalité soit intégrable, il faut 

 qu'on ait l'équation aux dérivées partielles du second ordre : 



/r/ 2 F f/' 2 F\ dF , a d 



dH ^ A 



et on ne fait que reproduire cette équation, en égalant comme il suit les 



dr 

 deux expressions de — : 



n , ft dH 2dF , 2a 



A 2 F + 2t,— = -— H 



da dp 

 Les expressions (81) vérifient aussi la condition -^ — = 0; par con- 

 séquent la solution du problème proposé consiste à déterminer les fonc- 

 tions H et F(t),£) au moyen des équations simultanées aux dérivées 

 partielles du second ordre (80) et (83). 



8. — Il paraît difficile d'intégrer généralement ces deux équations, mais 

 on peut en obtenir des solutions assez étendues. Je suppose d'abord qu'on 



v fasse — = ; elles deviennent : 

 J dÇ 



n dt 9 yd^di\ ^r \<h v -i 



( } { #F dF a _ 



1 dvj 2 'dïj 



rt*F 

 Car il faut que l'on ait en même temps — = ou bien : 



d'H H 



8j = 0. 



d(i v; 



Dans la première alternative, la dernière des équations (84) est une 

 équation différentielle du second ordre qui a pour intégrale générale ; 



(86) F = cï) 2 — a log 7! -f d, 



