32 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Je profiterai de celte occasion pour rendre hommage à la mémoire 

 d'Emile Mathieu, qui l'ut un des géomètres éminenls de notre cpoque et 

 dont les ouvrages de physique mathématique sont justement appréciés. 

 C'est à son cours de physique mathématique que je dois la connaissance 

 des travaux de Sturm sur les équations différentielles linéaires du second 

 ordre. Il complète un peu plus loin son exposé en donnant une trans- 

 formation analogue à celle que j'ai indiquée au travail cité et dont je fais 

 ici l'application ; mais elle en diffère parce qu'il substitue à la fonction à 

 déterminer une autre fonclion, tandis que je fais une simple substitution 

 de variable indépendante. On peut employer l'un ou l'autre de ces pro- 

 cédés, mais je crois que le dernier est en général préférable. J'y ai été 

 conduit par un des résultats de l'étude dont je m'occupais, et peut-être ne 

 l'aurais-je pas cherché si j'eusse connu la formule de Mathieu ; mais, préoc- 

 cupé du souci d'accomplir ma tâche, je me bornai à consulter le passage 

 de son cours qui m'était utile pour donner à un calcul effectué plus de 

 généralité. 



9. — Pour que H satisfasse à la relation (85) il faut qu'on ait H = Or,. 

 où C peut être une fonction de Ç et de / ou simplement une constante. Dans 



ce dernier cas qui s'accorde avec la relation — • = 0, il faut qu'on ait 



us 



a — pour que l'équation (80) soit vérifiée, et il n'y aura à intégrer que 



l'équation aux dérivées partielles : 



dÇ" ' ' aY 'd< 



r, 



On peut pour cela employer, comme je l'ai fait plus haut, le procédé 

 généralement usité dans la physique mathématique et poser F = YZ, en 

 désignant par Y une fonction de tj et par Z une fonction de Ç ; on sait, 

 d'après l'enseignement de Lamé, que, par cette voie, la vérification des 

 conditions accessoires s'effectue assez souvent sans trop de difficulté. 

 11 vient alors : 



.rF + by yF — bœ (*/\d? , „ \, \ dF 



V V 





et si l'on prend pour F une constante, on a r = Oi" -f- D. Par suite, on 

 obtient pour les composantes de la vitesse : 



L = Cy, M = -Cx, K=3(3-^ = 0, 

 "' 2 \dx dy) 



et toutes les conditions du problème sont bien satisfaites. 



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