42 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



passer de là à l'abscisse x, il suffît de remplacer ds par y dx 1 -f- dy- 

 résoudre l'équation par rapport à d.r. Il viendra 



(2) dx=âyJ&ît-i. 



V 2y 



Il faut que dx soit réel ; par conséquent, on devra avoir l'inégalité 

 ou, en extrayant la racine carrée des deux membres 



v(y) > 



\/ 



ii 



& 



condition qui, dans certains cas, limitera les valeurs à attribuer à l'or- 

 donnée y. 



On remarquera que \/ -M représente la durée t du trajet d'un point 



v 9 

 pesant tombant suivant la verticale MP; et o(y) est, par hypothèse, le 

 temps du trajet le long de l'oblique MK. Les équations (1) et (2) contiennent, 

 en définitive, comme coefficients de dy un nombre qui dépend unique- 

 ment du rapport de ces deux durées. 



Intégration de l'équation (/). 

 L'intégration de l'équation (1) revient à la quadrature de la fonction 



?(y )'_[!/ 

 v'y 



Supposons que cp(y) soit exprimée par la somme d'un nombre fini ou 

 infini de termes proportionnels chacun à une puissance de y, et posons 

 d'une manière générale : 



9 (y) = A + A l2/ + A,if + . . . + A n V n + . . . 



en n'admettant d'abord dans le développement que des puissances à expo- 

 sants entiers et positifs. 



Nous aurons, en divisant par Vy, 



vy vy 



