44 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



ment du solide le long de la droite inclinée. Il conviendrait donc, dans ce 

 cas, d'exclure les tangentes à la courbe qui se rapprochent trop de la ver- 

 ticale, ou qui font avec l'horizontale OX un angle -j. supérieur à la limite 

 indiquée. 



Construction géométrique de la courbe cherchée. 



Reprenons l'équation (1) ds=.kl^-^{y)dy, qu'on peut mettre sous la 



ï 



forme ds = - dy, en appelant T la durée du parcours de la tangente, 



6 



et 6 la durée 1/ — du parcours de l'or- 

 donnée verticale. 



Dans le plan du papier menons deux 

 axes rectangulaires OT. OY (fig. 2), l'un 

 sur lequel nous porterons des valeurs 

 de T et de 6, tandis que les valeurs 

 de y seront portées sur l'autre. 



L'équation = t/ — , ou bien 



\ 



y — - #ô 2 , représente une parabole OL, 



tangente en à l'axe OT. Cette courbe est indépendante de la fonction 

 donnée y{y). 



L'équation T = <?(//) représente sur la figure une courbe qu'on peut 

 tracer ; soit MN cette courbe. 



Pour une ordonnée y = OH quelconque, ces deux courbes ont des 



abscisses 6 = HE, T — HF. Prenons sur OT une longueur abstraite OA = a, 



qui sera pour ainsi dire notre unité; joignons EA, et ayant déterminé le 



point S où EA coupe l'axe OY, menons la droite SF qui coupe OT en B. 



Soit z = OB le segment qui en résulte sur l'axe OT. Nous aurons la 



proportion 



OB HF u . z T 



> ou bien - 



FIG. 2. 



OA HE 



a 







Il suffit donc de prendre sur l'ordonnée HF une longueur HK — OB = z 

 pour avoir un point K d'une courbe (z,y) qui se trouve rattachée à l'arc s 

 de la courbe cherchée par la relation 



T 



= a — 



6 



