I It. C0LL1GN0N. — l'HoliLLMI. 1)1. Ml « v\|n[ fc. 



d'où l'on déduit par L'intégration, avec une nouvelle constant 



il 



* = c+î<*- 



L'abscisse x sera réelle, ainsi que l'aie s, si y est au moins égal à /. 



Nous pouvons placer la courbe de telle sorte que pour ./■ = 0, on ait y / . 



Alors la constante C est nulle ; si l'on veut qu'au même point s 0, il 



2 

 faudra taire C = — -x X. 



o 



On obtient, en définitive, pour les équations de la courbe 



2 m ' 



1 



S = 3 



n\ y — *v a 



y/X 



x 



2 (.v - xy?/ - x 



3 



/X 



Prenons sur l'axe OY (pj. 4) une longueur OA = X. Si nous trans- 

 portons l'axe des abscisses parallèlement à lui-même en AX', l'équation 

 de la courbe deviendra, en appelant, y' 

 la nouvelle ordonnée y — X, 



./• 



ou bien 



2 y'vV 



3 v/X ' 



équation de la développée BAB' d'une 



parabole. Pour avoir cette parabole, 



prenons le tiers inférieur des tangentes 



AO, MR, menées aux divers points de 



la courbe. Ces points 0'. L appartiendront à la parabole cherchée, puisque 



dans la parabole le rayon de courbure ML est double de la portion LB 



de normale comprise entre la courbe et la directrice OX. Le foyer de 



la parabole est au point F, milieu du segment O'A, ou tiers supérieur de 



_ X 3x s 

 l'ordonnée OA. Elle a pour équation, rapportée à OX et Oï . .'/ - ^ - j ■ 



Puisque ML est les deux tiers de MR, et que les durées des parcours qui 

 s'opèrent sous l'action de la pesanteur à partir d'un point M donné !<■ long 

 d'une droite inclinée MA sont proportionnelles aux racines carrées des 



espaces décrits, la durée du parcours MB étant y 



l/4 ■ la 



-4, la durée <lu par- 



