48 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



/ 2 2 2?/ 



cours ML sera y 4/ — X« = ; d*où résulte, ce théorème : la durée 



V l 3 v/3</X 



du parcours du rayon de courbure d'une parabole à axe vertical, entre le 



centre du cercle osculateur et la courbe, est proportionnelle à la distance 



du centre de courbure à la directrice. 



A X 



3° Nous ferons encore <p(?/) -- — — , ou plutôt <p(y) = -n, X désignant 



une longueur donnée. Nous aurons 



<foc = 



X 2 

 On voit que \f est en plus égal à — ; posons X =. a\/2 ; y aura pour 



valeur maximum la longueur a ; et si l'on veut que l'arc s et l'abscisse x 

 s'annulent pour y = a, il faudra faire varier y en diminuant depuis celte 

 valeur a jusqu'à zéro, ce qui conduit à prendre pour dy des valeurs néga- 

 tives et à poser 



X dy _ dy 



71 y .y 



/à 2 — 2u* du /- -dy 



V 2 y y 



Il vient d'abord 



s = C- al{y) = - al(^j , 



si l'on fait y = a sin |x, il vient 



as 



/ \sin \j. '. / 



= C — 2a/ tang ^ — a cos ^ = — 2aZ tang ^ — « cos [* . 



Cette dernière équation représente la tractrice qui a une taDgente 

 constante el égale à a. L'équation différentielle 



à = — a — 



