50 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



En coordonnées polaires, on aura entre le rayon r et l'angle polaire <j. 

 la relation 



\/ 



2r 



g sin p. 



cp(r sin <j.) ; 



et si l'on pose 0'^ = x', pin = y', on aura, pour l'équation en coordonnées 

 rectangles, 



s/ 



lix" 1 + y'*) 



m 



?(*/') ■ 



A la cycloïde, pour laquelle f(y) — constante, correspondra la circon- 

 férence 2(.r' 2 4- y'*) = agy' ; 



À 1 



A la tractrice, f(y) = — = correspond le cercle x" 1 -f- y" 1 = - À 2 ; 



vgy 



/* 



A l'exponentielle ©(;/) = i / - 



a 



y -j — ) correspond la verticale x' -=. a; 



J 



te. 



Remarques. 



I. — La développée de parabole à axe vertical, rapportée à la directrice 

 de la parabole, a cette propriété que la durée du parcours de ses tangentes. 



entre le point de contact et la directrice, 

 est proportionnelle à la hauteur de 

 chute. 



Si donc on prend sur la courbe des 

 points A, M, W, M" . . . (fig. 6) tels que 

 les ordonnées AO, MP. MF, M V ". . . . 

 soient proportionnelles aux nombres 

 1, 2, 3, 4, ... qu'on mène les tan- 

 gentes AO, MR, M'IV. .U'R", ... de ces 

 points, et qu'on fasse glisser sans frot- 

 tement des points pesants le long de ces 

 tangentes, tous les points mobiles, 

 abandonnés au même instant sans vitesse aux points A, M, M', M . ... 

 arriveront au pied du la tangente correspondante, sur la directrice OX, au 

 bout de temps proportionnels à ces mêmes nombres 1, 2, 3, 4, ... : ce 

 qui revient à dire que les points pesants parviendront aux points 0, R, 

 R', R", . . . situés sur la directrice OX, à intervalles de temps égaux. Le 



