ÉD. COLLIGNON. — PROBLÊME DE MÉCANIQUE 



si Ton veut que ./■ soit nulle lorsque y a la valeur a, Bon nain On 



trouve comme résultat la parabole 



.'/ 



a 



la 



rapportée à son axe <le figure et à sa directrice. II serait facile de rattacher 

 cette propriété à celle de la développée de la parabole relative au par* ours 

 de ses tangentes, exposée plus haut. 

 4° Nous poserons enfin 



f(y) 



vlK> 



La fonction à intégrer devient alors 



dx = dy 



iy 



a- 



-\!J-r 



y 



-2j/ 



ydy 



a 



et la courbe clierchée est la parabole y* = ax rapportée à son axe liori 

 zontal et à la tangente au sommet. 



On a, en effet, en élevant NS' (fig. 9) perpen- 

 diculaire à la normale MN, jusqu'à la rencontre 

 de l'ordonnée MP prolongée, 



MS' = MP-fPS' = w-f-, 



y 



puisque PN, sous normale, est égale à la cons- 

 tante a; et par suite le temps T du trajet de M 



AT 4 /2MS 7 . . . 4 /2/ , a 2 \ 



N,\/— , estégala^-^-f-j 



On peut construire une courbe auxiliaire pour 

 le parcours des normales comme pour le parcours des tangentes. La courbe 

 auxiliaire relative aux normales s'obtiendra en posant 



en 



Fig. 



y =y 



x" — — 



ydy 



dx 



l'abscisse de la courbe cherchée est égale, au signe près, à la sous-nor- 

 male de la courbe donnée. 



A la cycloïde correspondra encore une circonférence; 



A la parabole y- = ^ax, correspond la verticale ' — a. 



