54 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



III. — Les résultats que nous avons obtenus pour les courbes planes, 

 tracées dans un plan vertical, et rapportées à des axes dont l'un soit hori- 

 zontal, peuvent s'étendre à des courbes dans l'espace, rapportées à trois 

 plans rectangulaires dont l'un soit horizontal. Il suffît d'enrouler le plan 

 de la courbe sur un cylindre à arêtes verticales, qui deviendra le cylindre 

 projetant de la courbe dans l'espace. Dans cette transformation, l'axe OX de 

 la figure plane devient la section droite et la trace du cylindre projetant 

 à la rencontre du plan horizontal ; les tangentes conservent leur lon- 

 gueur et leur inclinaison, et la durée de leur trajet sous l'action de la 

 pesanteur reste la même pour chacune. Quant aux normales, les résultats 

 s'appliqueront encore, mais seulement à la normale unique située dans le 

 plan tangent au cylindre vertical qui projette la courbe. 



Problèmes divers. 



Étant donnés dans le plan vertical une courbe AB (fig. 10) et un axe 



horizontal OX, trouver le point M de 

 la courbe pour lequel la durée T du 

 trajet sur la tangente jusqu'à l'axe OX 

 soit la plus grande ou la plus petite 

 possible. 



On a l'équation 



o c 



=>fë 



, 1 

 y sin <j. 



p. étant l'angle que forme la tangente 

 avec l'axe OX. Le problème revient 

 à chercher le maximum ou le mini- 



y 



mum de la fonction 



sin- [j. 



, en éga- 



lant la différentielle de cette expression à zéro. Il vient, en réduisant et en 

 rapprochant le dénominateur sin 3 à u, 



sin [* dy — 2 cos [x y d\j. = 0, 



dy 



ds 



dx 



ds 



- , cos a = : — ; posons -f^ = tang p = p. 



dy 



dx 



On en déduit d\x = d arc tgjp = j 

 en supprimant le dénominateur ds, 



dp 



P 1 



Il vient donc, en réduisant et 



df — ïydx- 



dp 



i+p 



= 0, 



