-j'6 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



solution écartée, nous avons, en divisant par dx, une équation qu'on peut 

 mettre sous la forme 



1 -f p- 



dp 

 dx 



< r ±y = ù 



Or 



1+p 



dp, 



dx) 



— est la différence y' — y 



FlG. II. 



entre l'ordonnée du centre de courbure 

 et l'ordonnée du point M correspondant 

 de la courbe. Il vient donc la relation 



y' — y + 2y = y' + y = 0, 



ce qui équivaut à dire que le point N (fig. Il), pied de la normale MX, est 

 le milieu du rayon de courbure >1C. La courbe AB, au point M cherché, 



est osculatrice à la cycloïde qui serait 

 engendrée par le cercle JNMS, roulant sur 

 l'axe OX. 



Faisons une application de ce problème 

 à un cercle de rayon CD donné. 



Si l'axe OX (fig. 12) rencontre la cir- 

 conférence décrite de C comme centre 



1 



avec - CD pour rayon, aux points m el 



Fig. 12. 



m', les points M et M' sur le cercle auront 

 leurs rayons de courbure divisés en deux parties égales par l'axe OX; à ces 

 points correspondent des maxima de la durée du parcours de la normale 

 Mm, Wm'. Au point M", point le plus élevé du cercle, correspond une 



valeur nulle pour la différentielle dy; et 

 le parcours de la normale M'p sera un 

 minimum ; la courbe des durées présentera 

 la forme AEM'FB, les ordonnées rappor- 

 tées à OX représentant les durées aux 

 points où elles rencontrent le cercle. 



Si l'axe OX ne rencontre pas la circon- 

 férence de rayon ^ CD (fig. 13), la courbe 



des durées n'a pas les mêmes sinuosités, 

 et les durées de trajet, nulles en A et B, atteignent leur maximum au 

 point M", point le plus élevé de la courbe. 

 Cherchons encore quelle est, pour un cercle donné, situé dans un plan 



m. 



Fig. 13. 



