il». C0LL1GN0N. — PBOBLÈME DE MÉCANIQ1 i: 5" 



vertical et rapporté à une droite horizontale XX située dans ce plan, la 

 tangente brachistochrone . 



Soit (fig. 44) le centre du 

 cercle, 



OA = a son rayon. 

 OH = h la hauteur de son 

 centre au-dessus de l'horizontale 

 XX. On suppose a •< h, de sorte 

 que le cercle soit tout entier au- 

 dessus de XX. 



En appliquant la règle du mi- 

 nimum, on voit qu'il faut faire en 

 sorte que le milieu I du rayon OL 

 qui aboutit au point cherché, soit 

 sur la verticale BI du pied de la 

 tangente LB. 



Si donc on mène l'ordonnée LP, la droite BI, dans le trapèze OLPA, esl 

 la demi-somme des bases HO, PL. Or, on a 



HO = h, PL = h — a cos a, 



li... 14. 



«■n appelant a l'angle cherché HOL. 

 On a donc IB = h — - a cos a, 



et comme le triangle BIL est rectangle en L et que l'angle BIL est égal à x, 



on aura 



IL = IBcosx, 



c'est-à-dire 



1 



(h — ^ a cos a ) COS a , 



-) 



ou bien 



On en déduit donc 



±h 



COS- y. - - cos a - 1 = 0. 

 a 



COS a 



h±\Jh % — a* 

 a 



I 



les deux racines sont, l'une cos a, l'autre > 1 ; et l'angle x est défini 



COS x 



v/r- 



a 



par son cosinus cos a = — 



De là résulte la construction suivante : du point H, pied de l'ordonnée 

 du centre, on mène au cercle une tangente HA: un décrit, du poinl H 



