68 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



DERNIER EXEMPLE 



Cherchons quelle forme il faut donnera la tour pour que le prix total P 

 soit une fonction linéaire de la hauteur h, ce qui revient à dire que P croît 

 proportionnellement à la hauteur. 



On aura alors 



<p(A) = Ah + C, 



A et C désignant des constantes. La section w à la hauteur z sera égale 

 au quotient 



a + àpz a -j- 6jo5' 



de sorte que la section nette œ est l'ordonnée d'une hyperbole dont la hau- 

 teur z est l'abscisse. 

 La hauteur h qui correspond au minimum est donnée par l'équation 



%hy'{h) — cp(A), 



ce qui conduit à la valeur h = — ; 



et le coefficient économique correspondant est — - = 2 vAC. 



y h 



Si l'on admet cette forme de tour, chaque tranche horizontale de hau- 

 teur dz revient au même prix dP. On peut considérer à part le travail de 

 l'élévation des tranches successives ; il s'exprime par le produit 



pcozdz = = '— 1 —r— dz, 



1 a -j- bpz bp \ a -\- bpz) 



pÂ 



et l'on reconnaît que le coefficient de dz va en croissant de la valeur — - 



pour z = 0, à la valeur -^-(1 — — r)> pour z =h, hauteur totale 



r bp\ a -p bplij 



de la tour. La tranche qui demande le plus de travail pour l'élévation 



des matériaux est donc la tranche supérieure. 



La même recherche appliquée à la tour en forme de pyramide, dans 



laquelle on aurait 



„ = û-_ f 



montre que la tranche de hauteur dz qui exige le plus de dépense pour 



