70 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. le général Michel FE0L0Y 



à Genève. 



NOTE SUR LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE [Q] 



— S ki ne c du 15 septembre — 



1. — Contrairement à l'opinion de Gauss et de la plupart des mathéma- 

 ticiens modernes, que la géométrie non euclidienne ne renferme en elle rien de 

 contradictoire, nous allons montrer qu'elle n'est pas entièrement exempte 

 de contradictions. Il suffît d'examiner le célèbre ouvrage de Lobatschevsky, 

 Recherches géométriques sur la théorie des parallèles, pour y trouver des 

 propositions qui paraissent contredire l'hypothèse fondamentale, celle qui 

 nie l'axiome XI ou le postulat d'Euclide et qui est exposée dans les §§46 

 et 22. 



Telle est, par exemple, la proposition du § 2o : Deux droites parallèles 

 à une t7-oisième sont parallèles entre elles, qui est en désaccord avec cette 

 hypothèse, selon laquelle on peut mener à une droite quelconque une infi- 

 nité de parallèles qui se coupent ou, au contraire, qui sont non-sécantes 

 l'une de l'autre, au lieu d être parallèles entre elles. Tout dépend ici du 

 sens de parallélisme, que passe sous silence l'énoncé de celte proposition. 

 Si elle était exacte, toutes les droites du plan seraient parallèles. 



Dans le § 29, l'auteur arrive à la conclusion que si F on admet que deux 

 des trois perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle rec- 

 t il igné ne se coupent pas, la troisième ne pourra pas non plus rencontrer les 

 deux autres. Puis, en s'appuyant sur cette conclusion, il démontre dans 

 le § 30 la proposition : Les perpendiculaires élevées aux milieux des côtés 

 d'un triangle, rectiligne seront toutes les trois parallèles entre elles*, dès que 

 l'on en supposera deux parallèles. 



Lobatschevsky a, sans doute, considéré cette proposition comme géné- 

 rale, c'est-à-dire applicable à tous les triangles, car il n'a pas jugé néces- 

 saire d'indiquer les cas où elle ne l'est pas. Or, elle manque entièrement de 

 généralité, car il y a une infinité de triangles où ce parallélisme des per- 

 pendiculaires médianes ne saurait exister. Tels sont, par exemple, les 



