GÉNÉRAL MICHEL FROLOV. — SUR I. \ GÉOHÉTRIl NON EUCLIDIENNE 71 



triangles équilatéraux et tous ceux dont le plus grand «les angles intérieurs 

 ne surpasse pas la somme «les deux autres. En effet, on démontre faci- 

 lement que, d;ms ces cas, les trois perpendiculaires se coupent en un poinl 

 situé au milieu du plus grand des côtés <>u à l'intérieur du triangle. Donc, 

 cette proposition, qui équivaut à admettre la possibilité des triangles, dans 

 lesquels le point de rencontre des trois perpendiculaires est reculé à l'infini, 

 est inadmissible pour la plupart des triangles, >,ius qu'on s'explique La 

 raison pourquoi dans ces derniers il n'est pas permi- de supposer que deux 

 perpendiculaires soient parallèles entre elles, quoique cette supposition 

 reste toujours conforme à l'hypothèse fondamentale. 



2. — Considérons un angle quelconque >'CP (fig. I). Soit K/c sa bissec- 

 trice et QR la parallèle commune de ses deux côtés CN et CP. qui coupe la 

 bissectrice en 0. Selon 

 la notation de Lobat- 

 schevsky, on a CO =p 

 etl'angleNCK = H(//>. 

 Faisons CD = CF=C0 

 et élevons sur CN et 

 sur CP les perpendicu- 

 laires Ee et Gg, qui 

 seront parallèles à K/.\ 

 car les biangles EDCk 

 et GFCR sont super- 

 posables aux biangles QOCN et ROCP, et seront parallèles entre elles, par 

 raison de leur symétrie, par rapport à la droite Kk. Faisons AD = BF = CO, 

 joignons A et B et nous obtiendrons le triangle isoscèle ABC, dont 1rs trois 

 perpendiculaires Ee, Gg, K/c sont parallèles entre elles. Pour chaque angle 

 proposé, il n'y a qu'un seul triangle isoscèle, qui possède cette propriété. 

 Dans ce triangle on a CD >> CH, DL<HL. Joignons les points d'inter- 

 section I, J, L, iVl avec le sommet Cet nous aurons CL = AL, angle DCL - A. 



angle 1CN = angle ICK = - angle NCP, et, par suite, angle 1CX / A. 



Donc C> 2(A — B). Voici la condition de la possibilité du parallélisme 

 des perpendiculaires dans un triangle isoscèle. On peut l'exprimer, en 

 disant que le plus grand de ses angles doit surpasser le double de la 

 somme des deux autres angles. 



3._ Reprenons le triangle isoscèle ABC avec ses trois perpendiculaires 

 Ee, Gg, Kk (fig. 2), parallèles entre elles. Prenons sur Ee et sur Gg deux 

 points symétriques D' et F', élevons les perpendiculaires D'C et F'C' qui 

 .se coupent en C sous un angle très petit. Faisons A'D' = CD', B'F' = CT\ 



