« A' 



B' o 



72 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



joignons A' et B' et nous aurons le triangle isoscèle A'B'C. En s'éloignant 

 de plus en plus les points D' et F' des points D et F, l'angle en C décroîtra 



de plus en plus et il arrivera 

 nécessairement que lorsque 

 ces points viendront en d et 

 en f, deux points tels qu'on 



ait angle Edf = - angle 



i 



Eda = - > les côtés A'C et 



2 



B'C prendront les positions 

 aa' et W, en se détachant 

 l'un de l'autre et en deve- 

 nant parallèles l'un à l'autre 

 et à la droite Kk. Alors 

 l'angle C deviendra nul et le triangle se transformera en biangle aa'b'b 

 ou en trois droites parallèles l'une à l'autre. Ainsi l'angle C deviendra 

 successivement moindre que 2(A' + B'), puis moindre que (A' + B')> et 

 même moindre que A' = B'. Il s'ensuit que les perpendiculaires Ee, Gg, Kk, 

 supposées parallèles entre elles, ne sauraient l'être. 



4. — Il semble que cette contradiction suffit pour faire rejeter la propo- 

 sition du § 30, avec toutes ses conséquences, telles que la possibilité des 

 horicycles, établie dans les §§ 31 et 32, celle des horisphères, établie dans 

 le § 34, les formules trigonométriques des §§ 36 et 37, enfin avec tous 

 les faits essentiels de la géométrie non euclidienne. Au reste, ce résultat 

 était à prévoir, après que nous avons réussi dernièrement à donner une 

 démonstration rigoureuse que la somme des angles intérieurs d'un triangle 

 rectiligne ne peut pas être moindre que deux angles droits (a). 



[a) Théorie des parallèles. Deuxième édition, t S99- Paris, Carré et Naud, éditeurs, :j, rue Racine 

 (Théorème XIV, pages 34-37). 



