88 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



2° Étant données une circonférence (fig. 1) et une droite LL' située 

 dans son plan, la distance MP d'un point M pris sur la circonférence à la 



droite est la plus grande ou la plus petite 

 possible lorsque le point M coïncide avec 

 l'une ou l'autre des extrémités du dia- 

 mètre BG perpendiculaire à LL'. 



L'énoncé de ce théorème suppose la 

 droite LL' toute entière extérieure au 

 cercle. 



Soit BC le diamètre perpendiculaire 



à LL'. Abaissons MP perpendiculaire à 



la même droite, et joignons MO, OP, MA. 



La perpendiculaire MP est plus courte 



que l'oblique MA, laquelle est moindre que la somme MO + OA = BA : 



donc enfin MP<AB, et le maximum de la distance MP a lieu lorsque 



le point M coïncide avec le point B. 



On a de plus dans le triangle MOP, 



Fig. I. 



et a fortiori 



Donc 



PO < MP + MO, 

 OA < MP + MO. 

 MP>OA — MO, 



c'est-à-dire MP > CA. Le minimum de MP correspond donc à la position C 

 attribuée au point M, c'est-à-dire à la seconde extrémité du diamètre BC, 

 perpendiculaire à LL'. 



Lorsque la droite LL' traverse, le cercle, les conclusions doivent être 

 modifiées; la distance MP devient nulle, en effet, aux points de rencontre, et 

 elle a deux maxima, l'un au point B, l'autre au point C. On les distingue- 

 rait au besoin en donnant un signe à l'ordonnée MP. Pour éviter la dis- 

 cussion de ces divers cas, on peut regarder la droite LL' comme une hori- 

 zontale, et la droite OA qui lui est perpendiculaire comme une verticale, 

 direction de la pesanteur. Le point B devient alors le point le plus haut 

 du cercle et le point C le point le plus bas; et nous pourrons dire d'une 

 manière générale que, sur une circonférence, le point le plus haut et le 

 point le plus bas sont situés aux extrémités d'un même diamètre. 



Toutes ces propositions s'établissent aisément, sans recourir au postu- 

 latum d'Euclide. 



