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§ I" 



La première propositi le la théorie des parallèles a pour objet de 



faire voir que, par un point A exlérieur à une droite CD fig. 2 . on peul 

 mener une droite EF qui ne rencontre 

 pas œtte droite. La solution s'obtient 

 en menant par le point A une trans- 

 versale arbitraire AH, qui coupe CD en 

 un point B quelconque, puis en faisant 

 L'angle EAB égal à l'angle ABD. La 

 droite EF ne peul avoir aucun point 



commun avec CD : c'est une parallèle à cette droite. Mais la construction 

 fait intervenir une droite AD prise arbitrairement. On peut se demander si 

 la droite EF ne varie pas de position avec la transversale dont on a l'a il 

 usage. S'il en était ainsi, on pourrait mener par un même point A plu- 

 sieurs parallèles à CD; si l'on en peut mener deux distinctes, on en peut 

 mener une infinité. Le postula tu m d'Euclide affirme que toutes les droites 

 EF menées par le point A coïncident, et ne forment qu'une seule el même 

 droite: mais cette proposition n'est pas évidente et a besoin d'une démons- 

 tration. 



On reconnaît sans difficulté" : 



1° Que toute droite MN, menée par le point I milieu de AB, de manière 

 à rencontrer l'une des deux droites CD, EF, rencontre l'autre; qu'elle a son 

 milieu au point I; que les angles INF, 1MC sont égaux entre eux; que, par 

 conséquent, la construction, appliquée à la transversale NM passant par le 

 point I, conduit à la même parallèle EF; 



2° Que, si l'on abaisse du point I sur CD la perpendiculaire 1G, cette 

 droite, prolongée en IH, est perpendiculaire à la droite EF, de sorte que 

 les droites CD, EF sont perpendiculaires à une même droite GH. dont le 

 point I est le milieu. 



Ce point I est, comme on le voit, un centre pour l'ensemble des deux 

 droites. L'existence d'un tel point montre bien que les droites CD et EF ae 

 peuvent se rencontrer'; car, si elles avaient un point commun, elles en 

 auraient un second, symétrique du premier par rapport au point I. et coïn- 

 cideraient dans toute leur étendue. 



Plaçons-nous provisoirement au point de vue de la géométrie non-eucli- 

 dienne, en admettant que. par le point A, on puisse mener plusieurs paral- 

 lèles distinctes à la droite CD. Nous pourrons dire que la droite EF et la 

 droite CD sont des parallèles euclidiennes appartenant au point l; car 

 l'emploi de l'une quelconque des transversales Ali, HG, NM... menées par 



