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90 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



ce point permet de déduire la droite EF de la droite CD, ou la droite CD 

 de la droite EF. L'énoncé que nous adoptons réserve la possibilité, admise 

 par les non-euclidiens, de mener par le point A d'autres parallèles queEF. 

 rencontrant cetle droite sans rencontrer CD, ces nouvelles parallèles pou- 

 vant appartenir à d'autres points que le point I. 



Notre essai de démonstration du postulatum a pour but direct de faire 

 voir qu'on peut construire un rectangle, c'est-à-dire un quadrilatère dont 

 les quatre angles soient à la fois des angles droits. Toute la théorie des 

 parallèles peut se déduire de cette proposition dès qu'elle est reconnue 

 vraie. 



Si, sur une base donnée AB (fig. 3), on élève aux deux extrémités A 

 ut B des perpendiculaires AD, BC, sur lesquelles on porte des quantités 



égales AD = BC, et qu'on joigne DC, on aura 

 un quadrilatère ABCD, qui a deux angles droits 

 en A et B, et deux côtés opposés égaux en AD 

 et BC ; mais on ne peut pas affirmer sans preuve 

 que les angles D et C sont droits, et que le côté 

 DC est égal à la base AB. Tout ce qu'on a pu 

 démontrer jusqu'à présent sans recourir au pos- 

 tulatum, c'est que le quatrième côté n'est pas plus petit que le côté opposé 

 AB. de sorte que l'on a 



soit DC — AB, soit DC>AB. 



Au point T, milieu de AB, élevons une perpendiculaire IL à la base; la 

 droite IL sera un axe de symétrie de la figure; les angles DLÏ, CLI sont 

 droits, de sorte que les quadrilatères égaux A1LD, BILC, ont trois angles 

 droits reconnus. Les droites DC, AB, perpendiculaires à une même droite 

 IL, sont des parallèles euclidiennes appartenant au milieu K de la ion- 

 gueur IL. 



Si l'on fait varier la dimension AD = BC, en ajoutant une même quan- 

 tité DD', CC, aux deux côtés de la figure, on obtient un quadrilatère ABCD', 

 dans lequel le côté D'C. perpendiculaire à LL', est parallèle euclidien aux 

 droites AB et DC. La droite finie D'C est donc toute entière située d'un 

 même côté de la droite DC. Nous pouvons regarder la droite AB comme 



une horizontale au-dessus de laquelle la figure serait 

 construite. Grâce à celte convcnloin. nous pourrons 

 dire d'une manière générale que. lorsque les deux 

 extrémités D et C de la droite finie DC s'élèvent d'une 

 même quantité, cette droite finie s'élève toute entière. 



Cetle proposition subsiste encore lorsque l'élévation 

 commune des points D et C est accompagnée d'un 

 déplacement latéral des deux droites AD. BC, amenant la disjonction des 



