92 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



droites AL, BF seront «les parallèles euclidiennes par rapport au milieu de 

 la droite AB. Elles déterminent sur les circonférences deux points E et F, 

 qui sont également distants de la droite XX'. Abaissons, en effet, les perpen- 

 diculaires EG, FH sur cette droite. Nous formons deux triangles EGA, FHB, 

 rectangles en G et en H, ayant des hypoténuses AE, BF égales par hypo- 

 thèse, et des angles EAG, FBH égaux par construction. On en déduit 

 EG = FM. 



Traçons la droite EF, déterminée de position par les deux points E et F. 

 mais dont la longueur peut être constante ou variable, et demeure indif- 

 férente. La droite EF est parallèle euclidienne à la droite XX'. ainsi que 

 nous l'avons dit plus haut du quatrième côté de la figure EGHF, dans 

 laquelle les angles à la base sont droits, et les côtés EG, FH sont égaux. 

 Elle est distincte, en général, des tangentes EE', FF', aux deux cercles; elle 

 pénètre dans ces cercles en E et en F, et ressort de chacun d'eux en K et 

 en I. Nous trouvons donc, en général, quatre points E, K, F, I, à la ren- 

 contre de la direction EF et des deux courbes. Lorsque l'angle a est nul, 

 ces quatre points sont situés en D, D', C, C sur le diamètre commun aux 

 deux cercles. A mesure que l'on fait croître l'angle a, les distances EG, FH 

 vont croissant, et la droite EF s'élève, en même temps les points E et K se 

 rapprochent sur la circonférence A, et les points F et I se rapprochent de 

 la circonférence B. 



Quelle valeur faut-il attribuer à l'angle a pour rendre maximum les dis- 

 tances égales EG, FH? On a vu que cette valeur est égale à l'angle droit, 

 car elle fait passer les points mobiles aux points les plus hauts L et M des 

 deux cercles. Si l'on joint LM, on aura par conséquent la position la plus 

 élevée que puisse occuper la droite EF dont les extrémités s'élèvent ('gaie- 

 ment sur les deux circonférences. 



Or remarquons, qu'à partir de chaque position de la droite mobile EF. 

 le mouvement initial de chacune des extrémités E et F s'opère dans la 

 direction même de la tangente à la courbe qu'elle suit. Arrivée en LM, la 

 droite mobile, parvenue à sa position la plus haute, cesse de monter, et 

 elle redescendrait si l'angle a continuait à croître. C'est dire qu'elle reste 

 un instant station naire; son déplacement élémentaire s'effectue suivant sa 

 propre direction, il se réduit à un glissement de la droite sur elle-même, 

 ce qui la laisse immobile en tant que direction indéfinie. Puisque les points 

 E et F se déplacent toujours suivant les tangentes aux courbes qui les 

 guident, la droite LM est à la fois tangente aux deux cercles. 



Cette conclusion est d'accord avec la considération des points de ren- 

 contre E, K, F, I, qui, deux par deux, s'élèvent en se rapprochant sur les 

 deux circonférences. A la limite, quand ils approchent des points les plus 

 hauts, ils viennent s'y confondre en un seul et les cordes EK, FI devien- 

 nent la tangente commune LM. 



