9i MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



entraîne toute la théorie des parallèles, telle qu'elle est donnée dans les 

 Éléments, et renferme la démonstration du postulatum d'Euclide. 



Y 



<2 O 



s °- 



L'existence reconnue du rectangle permet d'établir que deux parallèles 

 euclidiennes, c'est-à-dire deux droites perpendiculaires à une même troi- 

 sième, sont partout équidistantes . 



Soient deux droites AX, BY, perpendiculaires à la droite AB (fig. 7). 

 Elles sont parallèles euclidiennes appartenant au point I, milieu de la 



perpendiculaire commune. Si nous pre- 

 nons sur AX et sur BY deux quantités 

 égales BC = AD, et que nous joignions 

 CD, nous formons un rectangle ABCD, 

 dans lequel les angles en C et D sont 

 droits, et où le côté CD est égal au côté 

 opposé AI». La droite CD, perpendiculaire commune aux deux droites 

 BY, AX, mesure la distance de ces deux droites dans la région où elle est 

 tracée; et comme CD est égale à AB, l'équidistance des parallèles AX, BY 

 est démontrée, en quelque point qu'on la considère. 



La droite 1Z, perpendiculaire au milieu de AB, est un axe de symétrie 

 pour la figure ; elle coupe donc le côté AB en son milieu I' et à angle 

 droit; de sorte que les parallèles euclidiennes AX, BY appartiennent aussi 

 bien au point Y qu'au point I, et, par conséquent, elles appartiennent à tout 

 point de la droite XL. Toute transversale, menée par les points K de IX, et 

 rencontrant AX en un poùit M, rencontre BY en un autre point M' et le 

 milieu du segment MM' est le point K. 



ÎNous nous servirons encore de la propriété du rectangle pour démontrer 

 que la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits. 



Soit ABC un triangle donné quelconque (fig. 8). Prolongeons indéfiniment 

 le côté AC, et, sur sa direction AX, prenons des longueurs CC, CC portées 

 bout à bout à partir du point C et égales au côté AC. Sur CC et sur CC" 



construisons les triangles CB'C, CB'C", égaux au triangle donné ABC. Des 

 points B, IV, 15" abaissons BH, B'H', B"H" perpendiculaires sur la base AX ; 

 nous aurons trois droites égales; car le triangle CB'C, et sa hauteur B'H', 



